الاقتصاد القياسي (منقول)

المحاضرة الأولى

يعتبر من أهم الاختراعات المعاصرة بعد الآلة الحاسبة التي خضعت لتطورات نتج عنها الحاسوب. وقد ساعدت بدرجة كبيرة في التطور العلمي والتقني.

ويستند هذا المقرر لما حصل عليه الطالب سابقاً من :

الاقتصاد القياسي – الاقتصاد الرياضي – الرياضيات (التفاضل والتكامل) – الجبر الخطي وجبر المصفوفات

وهناك العديد من البرامج (Software's) التي تستخدم للتحليل الإحصائي والقياسي للبيانات الاقتصادية مثل:

·        Statistical package for Social Sciences (SPSS)الحزمة الإحصائية للعلوم الاجتماعية           

·        E-Views

·        Excel

كذلك هنالك برامج يمكن أن تساعد في عرض النتائج الأولية للتحاليل الإحصائية والقياسية والتي تستخدم في التمثيل البياني والرسومات البيانية.

الاقتصاد القياسي يستند في الأساس على ثلاث مكونات:

1- النظرية الاقتصادية: لابد لأي بحث تطبيقي أن يستند على نظرية اقتصادية، ولا بد أن تكون هنالك فرضيات ينوي الباحث التحقق منها.

2- الحقائق: للتمكن من التحقق من النظرية وهي عبارة عن البيانات والي يمكن الحصول عليها بعدة طرق منها بيانات في سجلات سوا كانت سنوية أو شهرية .... الخ، ويمكن الحصول عليها عن طريق استبيانات.

3- طرق إحصائية قياسية: الاقتصاد القياسي يقدم طرق لتحليل هذه البيانات. وهو ما تتيحه لنا البرامج المذكورة.

عندما نأتي لنكتب الورقة العلمية نبدأ بنتائج إحصائية أولية لنتعرف على خصائص العين التي أخذناها أو خصائص المتغيرات التي غطتها الفترة الزمنية إذا كنا نتحدث عن سلاسل زمنية، ورسومات بيانية يمكن أن تساعد على فهم خصائص العينة المعنية وهنالك أنواع من البرامج من الممكن أن تقوم بهذه التحاليل الإحصائية الأولية.

المحاضرة الثانية

جبر المصفوفات:

ما هي المصفوفة: هي عبارة عن أعداد حقيقية منظمة في شكل صفوف ينتج عنها أعمدة، أو في شكل أعمدة ينتج عنها صفوف. وتكتب المصفوفة (A) التي تحتوي على (m) صف وعدد (n) عمود، ويشار إليها عادة بالمصفوفة (m×n) –الرقم الأول هو عدد الصفوف والرقم الثاني هو عدد الأعمدة- في الصيغة التالية:

متى تتساوى مصفوفتين أو أكثر؟: يتطلب الآتي:

-         أن تكون للمصفوفات المعنية نفس عدد الصفوف ونفس عدد الأعمدة.

-         أن تكون العناصر المتقابلة في المصفوفات المعنية متساوية عنصراً بعنصر.

وعليه فإذا كانت (A) و (B) مصفوفتان بنفس عدد الصفوف ونفس عدد الأعمدة فإن المصفوفة (A) تساوي المصفوفة (B) فقط في حالة تكون:

   i=1,2,..., m تعني كل قيم (i) لكل الصفوف                   j=1,2, …, n    تعني كل قيم (j) لكل الأعمدة

مثال: لدينا المصفوفتين (A) و (B) التالية:

نلاحظ أن هاتين المصفوفتين لهما نفس عدد الصفوف ونفس عدد الأعمدة، وأن كل عنصر في المصفوفة (A) يساوي العنصر المقابل له في المصفوفة (B). ونستنتج أن المصفوفة (A) تساوي المصفوفة (B) عنصر بعنصر.

ضرب المصفوفة في عدد حقيقي: مثلها مثل المتجهات، فعندما نضرب مصفوفة في عدد حقيقي فهذا يعني ضرب عناصر هذه المصفوفة في العدد الحقيقي. كما أننا إذا ضربنا مصفوفة (m×n) في a (عدد حقيقي) تكون المصفوفة الناتجة مصفوفة (m×n) كما هو موضح في المثال التالي:

جمع أو طرح المصفوفات: مثلها مثل المتجهات، فإن جمع أو طرح المصفوفات يعرف فقط للمصفوفات التي لها نفس عدد الصفوف ونفس عدد الأعمدة. ولجمع أو طرح مصفوفتين لهما عدد الصفوف (m) وعدد الأعمدة (n) ستنتج مصفوفة (m×n).

مثال: إذا كان لدينا مصفوفتين كالتالي:

المطلوب هو التأكد هل المصفوفتين لهما نفس عدد الأعمدة ونفس عدد الصفوف، وبالتالي نقوم بجمع أو طرح العناصر المتقابلة:

المحاضرة الثالثة

ضرب المصفوفات: بالإمكان ضرب المصفوفة (A) في المصفوفة (B) فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة (A) يساوي عدد صفوف المصفوفة (B). ويكون حاصل الضرب هو مصفوفة لها نفس عدد صفوف المصفوفة (A) ونفس عدد أعمدة المصفوفة (B).

إذا كان عدد أعمدة المصفوفة (A) يساوي عدد صفوف المصفوفة (B) ، فإنه يمكن ضرب المصفوفة (A) في المصفوفة (B) ، وهذا شرط لضرب المصفوفة (A) في المصفوفة (B) وليس بأي حال من الأحول لضرب المصفوفة (B) في المصفوفة (A) فقد يكون عدد أعمدة المصفوفة (B) لا يساوي عدد صفوف المصفوفة (A).

عملية ضرب المصفوفات هي في الواقع عملية لتوسيع نطاق عملية ضرب المتجهات وتتبع فيها الخطوات التالية:

1- نأخذ الصف الأول من المصفوفة (A) والعمود الأول من المصفوفة (B) ونجري عليهما عملية الضرب المعتادة وذلك بضرب العناصر المتقابلة مع بعضهما البعض ، ثم نجمع حاصل الضرب للعناصر التي ضربناها في بعض لنحصل على عنصر الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة الجديدة.

2- ثم نأخذ الصف الأول من المصفوفة (A) والعمود الأول من المصفوفة (B) ونجري عليهما عملية الضرب وذلك بضرب العناصر المتقابلة مع بعضهما البعض ، ثم نجمع حاصل الضرب للعناصر التي ضربناها في بعض لنحصل على العنصر في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة التي نتجت عن حاصل عملية الضرب.

حاصل ضرب المصفوفتين:

مثال: لدينا المصفوفتين (A) بالترتيب (3×2) والمصفوفة (B) بالترتيب (2×3) حيث أن:

حاصل ضرب المصفوفة (A) في المصفوفة (B) أي AB سيكون مصفوفة 2×2:

المحاضرة الرابعة

أما حاصل ضرب المصفوفة (B) في المصفوفة (A) أي BA فسيكون مصفوفة 3×3:

مثال آخر: لدينا المصفوفتين (A) بالترتيب (2×2) والمصفوفة (B) بالترتيب (2×2) حيث أن:

حاصل ضرب المصفوفة (A) في المصفوفة (B) أي AB سيكون مصفوفة 2×2:

أما حاصل ضرب المصفوفة (B) في المصفوفة (A) أي BA فسيكون مصفوفة 2×2:

لاحظ العناصر داخل المصفوفة الجديدة تختلف تماماً عن المصفوفة السابقة وهذا يؤكد أن عملية ضرب (A×B) ليس بالضرورة أن تكون مثل عملية ضرب (B×A) إطلاقاً.

محولة المصفوفة (Transpose of Matrix): بكل بساطة محولة الصفوف هي عملية تحويل الصفوف إلى أعمدة أو الأعمدة إلى صفوف مع ملاحظة أننا نقوم بعملية واحدة إما تحويل الصفوف أو تحويل الأعمدة ، وفي كلا الحالتين نحصل على مصفوفة جديدة تسمى محولة الصفوف ونرمز لها بـ (A').

فإذا كانت (A) مصفوفة بالترتيب (m×n) ستكون محولة المصفوفة (A') بالترتيب (n×m) أي أن عدد صفوف المصفوفة (A) سيساوي عدد أعمدة (A') وعدد أعمدة (A) سيساوي عدد صفوف (A').

مثال: المصفوفة (A) التالية بالترتيب (2×3):

سوا حولنا الصفوف إلى أعمدة أو حولنا الأعمدة إلى صفوف ستنتج لدينا مصفوفة جديدة هي محولة المصفوفة (A) ويرمز لها بالرمز (A').

المحاضرة الخامسة

بعض المصفوفات الخاصة:

المصفوفة المربعة: (Square Matrix) وهي مصفوفة تتساوى فيها عدد الصفوف وعدد الأعمدة.

المصفوفة القطرية: (Diagonal Matrix) هي المصفوفة التي جميع عناصرها تساوي صفر ما عدا قطرها.

العناصر  التي تقع خارج القطر هي عبارة عن أصفار وبالنسبة لعناصر القطر قد يكون أحد قيمها صفر والباقي أعداد فعناصر القطر قد لا تخلو من الأصفار ولكن ليس كلها أصفار.

المصفوفة النفاذة: (Idempotent Matrix)  وهي المصفوفة التي حاصل ضربها في نفسها يعطينا المصفوفة نفسها. وكأنها تولد نفسها إذا ضربناها في نفسها. مثال:

المصفوفة المتماثلة: (Symmetric Matrix)  وهي مصفوفة مربعة, ويقال عن المصفوفة (A) متماثلة إذا كانت محولة المصفوفة (A') تساوي المصفوفة (A) نفسها.

بتحويل المصفوفة إما الصفوف إلى أعمدة أو الأعمدة إلى صفوف سينتج عن ذلك أن محولة المصفوفة (A') تساوي المصفوفة (A) نفسها. ذاً فالمصفوفة (A) تعتبر مصفوفة متماثلة.

المصفوفة الصفرية : (Zero Matrix) وهي مصفوفة ليست بالضرورة أن تكون مربعة ويقال عنها مصفوفة صفرية لأن كل عناصرها تساوي صفراً. مثل:

مفاهيم مهمة في المصفوفات:

رتبة المصفوفة: (Rank of a Matrix)  يطلق هذا المفهوم على المصفوفة بشكل عام فإذا كان عندي مصفوفة مربعة (A) ذات الترتيب (n×n)، فإن رتبتها هي عبارة عن أكبر عدد من الصفوف أو الأعمدة المستقلة عن بعضها البعض التي يمكن الحصول عليها من المصفوفة.

وعليه إذا رمزنا لرتبة المصفوفة بالرمز(Rank)، فإن رتبة المصفوفة (A) تكون أصغر من أو تساوي (n) أي أن:                   Rank (A) ≤ n

لكن يمكن أن يكون هذا العدد أقل من (n) بمعنى يكون عندنا المصفوفة في هذه الحالة يقال عنها أن رتبتها غير كاملة. لأنه إذا تساوي عدد الصفوف وعدد الأعمدة في المصفوفة  فإنه يقال أن رتبة هذه المصفوفة كاملة، أما إذا كان العدد أقل فإنه يقال أن رتبة هذه المصفوفة غير كاملة، هذا إذا كانت المصفوفة مربعة.

أما إذا كانت غير مربعة فننا ننظر إلى عدد الصفوف وعدد الأعمدة أيهما أصغر ثم نقوم بإيجاد أكبر عدد من الصفوف المستقلة عن بعضها البعض إذا كانت الصفوف هي الأصغر عدداً أو الأعمدة المستقلة عن بعضها البعض إذا كانت الأعمدة هي الأصغر عدداً لنحصل على رتبة المصفوفة.

فإذا كان عندنا مصفوفة غير مربعة (m×n) وكانت الصفوف في هذه المصفوفة هي الأصغر عدداً يعني (m) فإن رتبة المصفوفة تكون عبارة عن أكبر عدد من الصفوف (m) المستقلة خطياً عن بعضها البعض ، في هذه الحالة فإن رتبة المصفوفة إما أن تكون تساوي (m) أو أقل منها كما هو موضح :

                                         n m ≤  Rank (A) ≤

أما إذا كانت الأعمدة هي الأصغر عدداً سيكون عندي العكس تماماً يعني (n) عدد الصفوف أكبر من الأعمدة ، فإن رتبة المصفوفة تكون عبارة عن أكبر عدد من الأعمدة (m) المستقلة خطياً عن بعضها البعض ، في هذه الحالة فإن رتبة المصفوفة إما أن تكون تساوي (n) أو أقل منها

 m n ≤  Rank (A) ≤

كذلك من الخصائص: إذا كان عندي المصفوفة (A) وأوجدنا محولتها (A') فلابد أن تكون رتبة المصفوفة (A) هي نفس رتبة المصفوفة المحولة (A').

=  Rank (A’)  Rank (A)

المحاضرة السادسة

قطر وذراع المصفوفة المربعة: مفهومان مهمان يرتبطان بالمصفوفة المربعة فقط. ولتوضيح هذين المفهومين نأخذ المصفوفة المربعة (A) بالترتيب (n×n) أي:

قطر المصفوفة المربعة:  ( Diagonal of a Square Matrix)

الجزء المغطى بالسهم هذا هو قطر المصفوفة ، ويتكون قطر المصفوفة المربع من جميع العناصر التي تقع على الخط الذي يصل العنصر في أقصى الجزء الشمالي الغربي والعنصر في أقصى الجزء الجنوبي الشرقي. عليه فإن قطر المصفوفة (A) هو عبارة عن العناصر (a₁₁,a₂₂,a₃₃,……,a_nn)

ذراع المصفوفة المربعة :  ( Trace of a Square Matrix)

ذراع المصفوفة المربعة هو عبارة عن مجموع العناصر القطرية ، بكل بساطة نجمع العناصر الواقعة على قطر المصفوفة والناتج الذي يظهر لنا هو ذراع المصفوفة.

وذراع المصفوفة (A) يرمز له بالرمز (Tr) وهي مأخوذة من كلمة ( Trace - الذراع ) بحيث:                     

محددة المصفوفة : (Determinant of a Matrix)

محددة المصفوفة تختص فقط بالمصفوفات المربعة، لدينا مصفوفة مربعة (A) بالترتيب (n×n) يتزامل مع هذه المصفوفة عدد حقيقي يسمى محددة المصفوفة، هذه المحددة هي دالة في العناصر المكونة للمصفوفة، أي تعتمد على العناصر المختلفة المكونة لهذه المصفوفة، وتلخص هذه المحددة بعض الخواص الهامة التي تتسم بها المصفوفة

ويرمز لمحددة المصفوفة (A) بالرمز |A| ، مع ملاحظة أن هذا الرمز لا يعني القيمة المطلقة المتعارف عليها، أو يرمز لها بالرمز (det A).

بالنسبة للمصفوفة المربعة (A) ، إذا كانت (n=1) يكون لدينا عنصر واحد في المصفوفة هو (a₁₁) وهو يساوي محددة المصفوفة (A).

أما إذا كانت مصفوفة مربعة و(n=2) أي تتكون من صفين وعمودين، ففي هذه الحالة تكون محددتها كالتالي:

نضرب عناصر القطر مع بعضهما البعض وحاصل عملية الضرب نطرح منه حاصل ضرب العنصرين المتبقيين. فإذا كان لدينا المصفوفة (A):

ستكون محددة المصفوفة (A):

- محددة المصفوفة المربعة (A) ذات الترتيب (n×n)، هي عبارة عن مجموع حاصل ضرب العناصر في أي صف أو عمود من صفوف أو أعمدة المصفوفة بما يسمى بالعنصر المرافق لها.

إذا رمزنا للعناصر المرافقة بالرمز (C)، نختار أي صف أو أي عمود، لكن بمجرد أن نختار الصف أو العمود لابد أن نلتزم به.

- باستخدام أي صف (i) من صفوف المصفوفة (A) يمكن حساب محدد المصفوفة بالصيغة التالية:

إذا أخذنا أي صف من الصفوف نسميه (i)، إذاً بالنسبة للمصفوفة (A) الصف (i) ثابت أي عناصره ثابتة بمعنى أننا نعمل على صف واحد فقط لكن ستتغير مع تغير العمود الذي يقع فيه الصف (k).

أما إذا استخدمنا أي عمود (j) من أعمدة المصفوفة (A) فإن العمود (j) يكون ثابت لكن الصف يتغير مع (k) وتساوي من (1) إلى (n)، وتكون المحددة عبارة عن:

وفي كلا الحالتين إذا استخدمنا أي صف أو أي عمود نحصل على نفس المحدد. إذاً محددة المصفوفة رقم واحد فقط ولا يوجد مصفوفة لها أكثر من محددة أي لابد أن نحصل على نتيجة واحدة طالما طبقنا أحد القانونين أعلاه.

مثال: لدينا المصفوفة (A) مربعة (2x2) كيف نوجد العناصر المرافقة للمصفوفة ؟

نأخذ العنصر الموجود في المصفوفة (a₁₁) وهو الرقم (1) ثم نكتب الصيغة التالية لإيجاد العناصر المرافقة:

C₁₁  =  (-1)²m₁₁  =1×4=4

حيث (-1) هو قيمة ثابتة.

مرفوع للقوى (2) والتي حصلنا عليها من جمع الصف والعمود الذي يقع به العنصر (a₁₁) (1+1=2)

ثم نضربه في (m₁₁) من أين نأتي بشطب الصف والعمود الذي يقع بهما العنصر والمتبقي هو (m₁₁) كالتالي:

إذاً هذا هو العنصر المرافق للعنصر (a₁₁) ، ثم نكمل حل باقي العناصر بالطريقة نفسها.

العنصر (a₁₂) حاصل جمعهما هو (3) فيصبح هو القوة ، و (m₁₂) هي (3)

فتصبح الصيغة:                                       C₁₂  =  (-1)³m₁₂  =-1×3=-3

وهكذا لباقي العناصر :

C₂₁  =  (-1)³m₂₁  =-1×2=-2

C₂₂  =  (-1)⁴m₂₂  =1×1=1

المحاضرة السابعة

وعليه فإن الصيغة العامة لاستخراج العناصر المرافقة كالتالي :

                                     (C_ij)=(a₁₁)^(i+j) ×(m_ij)

وبالتالي فإن مصفوفة العناصر المرافقة (C) هي:

ننتقل لإيجاد محددة المصفوفة (ِA) باختيار أياً من الصفوف أو أياً من الأعمدة ، لا يوجد قيد. هنا نستعمل الصف الأول حيث نثبت i (i=1) ونأخذنا عناصر الصف الأول ونضرب كل واحد في العنصر المرافق له حسب القانون.

عناصر المصفوفة الأصلية:  ،    العناصر المرافقة :

وهذا هو محدد المصفوفة.

الآن  نستعمل الصف الثاني ونثبت i على 2 لنجد أن:

استخدمنا الصف الأول ثم الصف الثاني كلٍ على حدة وكانت النتيجة واحدة وهي (-2) ، وبالتالي هذا هو محدد المصفوفة المعنية.

الآن نستخدم الأعمدة:

باستعمال العمود الأول حيث أن (j = 1 )

وبنفس الطريقة يمكن استعمال العمود الثاني

مما سبق يتضح أنه بالإمكان استخدام أي من الصفوف أو الأعمدة والعناصر المرافقة لإيجاد محددة الصفوف. كما ننوه أنه توفيراً للوقت إذا وجد صفوف أو أعمدة تحتوي على عناصر تساوي صفر فعلى الطالب أن يبدأ بهذا النوع من الصفوف أو الأعمدة لإيجاد محددة المصفوفة، حتى يسهل عليه الأمر كثيراً، وسوف تعطي نفس النتائج.

مثال آخر عن مصفوفة مربعة (3x3):

أول ما نعمله هنا هو إيجاد العناصر الثانوية للمصفوفة، حيث نشطب الصف والعمود الذي يقع به العنصر الأول (a₁₁) والمتبقي تكون هي المصفوفة الثانوية، فينتج لدينا:

            فينتج لدينا المصفوفة    

وهي العناصر الثانوية للعنصر (a₁₁)     

الآن نوجد محددة المصفوفة (A₁₁)                             m₁₁=(3×12)-(5×5)= 11                                   

فيكون هذا هو العنصر المرافق للمصفوفة (A₁₁)

بنفس الطريقة للعنصر الثاني (a₁₂) حيث نشطب الصف والعمود الذي يقع مع العنصر الثاني (a12) والمتبقي تكون هي المصفوفة الثانوية:

            فينتج لدينا المصفوفة    

وهي العناصر الثانوية للعنصر (a₁₂)               

الآن نوجد محددة المصفوفة (A₁₂)                               m₁₂=(1×12)-(5×1)= 7                                   

وبنفس الطريقة نحدد العناصر المرافقة لكل عنصر من عناصر المصفوفة A .

ثم نوجد مصفوفة العناصر المرافقة (C):

C₁₁  =  (-1)²m₁₁  =1×11=11

C₁₂  =  (-1)³m₁₂  =-1×7=-7

C₁₃  =  (-1)⁴m₁₃  =1×2=2

C₂₁  =  (-1)³m₂₁  =-1×9=-9

C₂₂  =  (-1)⁴m₂₂  =1×9=9

C₂₃  =  (-1)⁵m₂₃  =-1×3=-3

C₃₁  =  (-1)⁴m₃₁  =1×1=1

C₃₂  =  (-1)⁵m₃₂  =-1×2=-2

C₃₃  =  (-1)⁶m₃₃  =1×1=1

بالتالي تكون مصفوفة العناصر المرافقة:

نوجد محددة المصفوفة حسب القانون السابق :

باستعمال الصف الأول حيث (i=1) نجد أن

باستعمال الصف الثاني حيث (i=2) نجد أن

نكتفي بالصف الأول لأن جميع الصفوف والأعمدة ستعطي نفس المحدد. وبالتالي فإن محددة المصفوفة هو (3)

المحاضرة الثامنة

المصفوفات المفردة وغير المفردة: تصنف المصفوفات المربعة فقط بحسب قيمتها إلى مصفوفات مفردة (Singular Matrices) أو مصفوفات غير مفردة (Non-Singular Matrices).

يقال أن المصفوفة المربعة (A) هي مصفوفة مفردة إذا كانت محددتها تساوي صفر ، أي أن: | A | = .

يقال أن المصفوفة المربعة (A) هي مصفوفة غير مفردة إذا كانت محددتها تساوي صفر ، أي أن : | A | ≠ .

مثال :    هذه المصفوفة (A) هي مصفوفة مربعة (2×2):

نوجد محددتها :                    |A| =  (-3×-2) - (6×1) =.

إذاً هذه مصفوفة مفردة  لأن   | A | = .

مثال آخر: هذه المصفوفة (A) هي مصفوفة مربعة  (2×2)

نوجد محددتها :                  |A| =  (-3×-2) - (6×-1) = 12

إذاً هذه مصفوفة غير مفردة  لأن    | A | ≠ .

ومفهوم محددة المصفوفة مهمة جداً فيما يتعلق بإيجاد ما يسمى بمعكوس أو مقلوب المصفوفة،

معكوس (مقلوب) المصفوفة: (Matrix Inverse ) طالما أن محددات المصفوفات تتصل بالمصفوفات المربعة، فإن معكوس المصفوفة هو مفهوم يتصل أيضاً بالمصفوفات المربعة. وعلى هذا لا يوجد مفهوم محددة المصفوفة أو معكوس المصفوفة للمصفوفة غير المربعة.

ويقال أن للمصفوفة المربعة (A) بالترتيب (n×n) معكوس إذا كانت هنالك مصفوفة أخرى (B) مرافقة للمصفوفة (A) بحيث أن:

(B) مضروبة في (A) يعطينا مصفوفة أحادية أي كل عناصرها القطرية تساوي (1)، وفي هذه الحالة يقال أن المصفوفة (B) هي معكوس المصفوفة (A) ونرمز لها بالرمز (A^-1) مرفوعة للقوة (-1)، وهذا لا يعني أن المصفوفة مرفوعة للقوة سالب واحد ولكن هذا للتعبير عن أنها معكوس المصفوفة  فقط.

عليه فإن :         B=A^-1            

مفهوم المصفوفة المحاذية: (The Adjoin Matrix) والمصفوفة المحاذية للمصفوفة (A) هي عبارة عن محولة العناصر الثانوية (العناصر المرافقة) (C') للمصفوفة (A) ونرمز لها بالرمز (A') بحيث :

A^-1=C'

يعني في البداية نوجد مصفوفة العناصر المرافقة التي هي (C) ومن ثم محولتها، ومنها نوجد المصفوفة المحايدة للمصفوفة (A).

هناك ملحوظة مهمة تتعلق بالمصفوفة المحايدة للمصفوفة (A) وهي: أن حاصل ضرب (A) في (C') يساوي  |A| والتي هي محددة المصفوفة (A) مضروبة في المصفوفة الأحادية والتي هي (In) هكذا:

AC'=|A|In

عليه فإن معكوس المصفوفة (A) تساوي واحد على محددة المصفوفة (A) مضروبة في محولة مصفوفة العناصر المرافقة والتي هي (C').

فإن مقلوب المصفوفة (A) هو:

ويتضح من تلك الصيغة أنه ليس بالإمكان الحصول على معكوس أي مصفوفة إذا كانت محددتها تساوي صفر.

وذكرنا أن المصفوفة المفردة هي المصفوفة التي تكون محددتها تساوي صفر وبالتالي فإن المصفوفة المفردة لا يمكن إيجاد معكوس لها.

إذاً لإيجاد معكوس المصفوفة لابد من إيجاد محولة العناصر المرافقة (C) والتي هي (C') ثم نقسمها على محددة المصفوفة (A) والتي هي |A| يعطينا مقلوب المصفوفة أو معكوس المصفوفة والتي هي A^-1

بقي أن نقول أن حاصل ضرب المصفوفة (A) في معكوس المصفوفة يعطينا المصفوفة الأحادية (In).

AA^-1=In=A^-1A

المحاضرة التاسعة

نذكر بصيغة معكوس المصفوفة هي

مثال: لدينا مصفوفة A (2×2)

نوجد محددة المصفوفة (ويجب أن لا تساوي صفر):

|A| =  (1×4) - (2×3) = -2

بعد ذلك نقوم بإيجاد مصفوفة العناصر المرفقة:

C₁₁  =  (-1)²m₁₁  =1×4=4

C₁₂  =  (-1)³m₁₂  =-1×3=-3

C₂₁  =  (-1)³m₂₁  =-1×2=-2

C₂₂  =  (-1)⁴m₂₂  =1×1=1

فتكون مصفوفة العناصر المرافقة

الآن نوجد محولة العناصر المرافقة (C) والتي ستصبح (C')، إما بتحويل الصفوف لأعمدة أو الأعمدة لصفوف.

ها هي الآن محولة المصفوفة (C) والتي هي (C') وهي المصفوفة المحاذية للمصفوفة (A).

الآن نوجد معكوس المصفوفة وذلك فقط بتطبيق القانون:  

للتأكد من هذه النتيجة: قلنا أنه عند ضرب المصفوفة (A) في معكوسها فإنه لابد أن يعطينا مصفوفة أحادية جميع عناصرها القطرية تساوي(1) وغير القطرية = (0).

كما تلاحظون عندما ضربنا المصفوفة (A) في معكوسها أعطانا مصفوفة أحادية ولها نفس الترتيب (2x2).

هناك طريقة مباشرة لإيجاد معكوس المصفوفة ولكن لا تصلح إلا للمصفوفة (2x2) فقط وهي كالتالي :

هذه المصفوفة الأصلية        

كل ما نعمله هو قلب العناصر القطرية عنصر محل الآخر ، والقطر الآخر نجعل عناصره بالسالب ثم نقسم المصفوفة على (-2) هكذا:

مثال آخر: هذه المصفوفة (A) مربعة (3x3)

مصفوفة العناصر المرافقة كما أوجدناها في المحاضرة رقم 7:

والمحدد :

ومن مصفوفة العناصر المرافقة نوجد المصفوفة المحاذية للمصفوفة (A) وهي (C')

الآن نستخدم القانون لإيجاد معكوس المصفوفة:

وللتأكد من حلنا: فإننا إذا ضربنا المصفوفة الأصلية (A) بمعكوسها يعطينا مصفوفة آحادية عناصر قطرها = (1) والعناصر غير القطرية = (0).

المحاضرة العاشرة

ننتقل إلى بعض التطبيقات على المعادلات الخطية، ونموذج السوق التوازني التنافسي البسيط ، وكذلك في حساب تقديرات المربعات الصغرى.

المعادلات الخطية: هي معادلة تكون فيها المتغيرات مرفوعة للقوى واحد فقط. وتستمد هذه المعادلة اسمها من حقيقة أن مجموعة النقاط التي تستوفيها في متغيرين تقع كلها في خط مستقيم في الحيز الخطي الفرعي (R²).

مثل المعادلة:                                          2X₁ - X₂ = 2

ويمكن إعادة كتابتها في الصيغة:                              2X₁ = 2 + X₂

وبقسمة الطرفين على 2:                                      X₁ = 1 + X₂

إذاً هذه معادلة خطية من متغيرين ، بحيث أن كل القيم التي يأخذها المتغيرين (X₁) و (X₂) يجب أن تستوفي هذه المعادلة، ويمكن تمثيلها بيانياً على شكل خط مستقيم ومنه أخذت هذا الاسم. ونجد أنه عندما تكون (X₂) تساوي (0) فإن (X₁) تساوي (1)، ولذلك رسمنا الخط من النقطة (1)، وعليه فإن هذه النقطة تمثل إحدى النقاط التي تستوفيها هذه المعادلة وهي =0(X₂) و =1(X₁).

وهذا الخط مائل إلى أعلى وليس إلى أسفل لأنه إذا تغيرت (X₁) بوحدة واحدة تتغير (X₂) بمقدار نص موجب، ولذلك هناك علاقة طردية بين (X₁) و (X₂)، والعلاقة الطردية تعني أن ميلان هذا الخط لابد أن يكون موجب.

فإذا توفرت معلومتان فقط عن أي خط فبالإمكان رسمه، الأولى هي ما يسمى بالقاطع وهو قيمة المتغير التابع (X₁) عندما تكون قيمة المتغير المستقل (X₂) تساوي صفر. والمعلومة الثانية هي معرفة ميلان الخط الذي نريد رسمه هل هو (موجب) أم (سالب) ، فإذا كان موجب فهذا الخط يميل للأعلى وإذا كان سالب يميل للأسفل.

وهذه معادلة أخر تعطينا أيضاً معلومة محددة:    X₁+X₂=3

ويمكن إعادة كتبتها:                                  X₁=3-X₂

الشكل التالي يوضح هذه المعادلة:

أول ملاحظة هي ميلان الخط إلى أسفل لأن هناك علاقة عكسية بين (X1) و (X2)، إذا زادت (X2) (X1) تنقص، والعكس صحيح ، والقاطع لهذا الخط يساوي (3).

الآن نأخذ المعادلتين السابقتين في آنٍ واحد:

2X₁ - X₂ = 2                و       X₁+X₂=3

فهاتين المعادلتين تكونان نظاماً لمعادلات خطية آنية بمعنى أننا نأخذ في الحسبان فقط القيم من المتغيرين (ْX₁,X₂) التي تستوفي المعادلتين في آنٍ واحد.

بصفة عامة فإن المعادلة الخطية تأخذ الشكل:     a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=b

هذه معادلة خطية فيها (x)، وكل متغير يوجد معه ما يسمى بالمؤشر (a₁,a₂,a₃,a₄,…, a_n). فإذا ضربنا كل متغير بمعامله (المؤشر) وجمعناهم يعطينا (b).

نظام المعادلات الخطية الآنية الأشمل والعام يأخذ هذه الصيغة:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

                                                                                  -

                                                                                  -

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

وهذا يمكن كتابته في صيغ المصفوفات التالية:

العمود الأول يسمى مصفوفة المعاملات  (a₁₁,a₁₂,a₁₃…..a_m1,a_m2……a_mn)

العمود الثاني يسمى مصفوفة المتغيرات (X₁,X₂,X₃…..X_m)

العمود الثالث ويسمى (الجانب الأيمن) وهو يعطي القيم لهذه المعادلات.

كيفية كتابة هذه المصفوفات: لو لاحظنا لوجدنا أن الصف الأول من (المعاملات) مضروباً في عمود (المتغيرات) يعطينا القيمة الأولى (b₁) وهذه المعادلة الأولى. والصف الثاني من (المعاملات) مضروباً في عمود (المتغيرات) يعطينا القيمة الثانية (b₂) وهذه المعادلة الثانية ، وهكذا.

هذا النظام ممكن أن يكتب بصورة مدمجة هكذا:           Ax=b

الـ (A) ترمز للعمود الأول عمود (المعاملات)، مضروباً في عمود (المتغيرات) والذي يمثله (X) يساوي (عمود القيم) والذي يمثله في هذه المعادلة (b).

المحاضرة الحادية عشر

أمثلة لكيفية التعامل مع نظام المعادلات الخطية الآنية وذلك باستخدام المصفوفات.

مثال: هذه معادلتين آنيتين فيهما مجهولين هما (X₁) و (X₂) والمطلوب حل هذا النظام بإيجاد قيم لـ (X₁) و (X₂) تستوفي المعادلتين في آنً واحد:

                                                          2x₁+x₂=7

                                                          x₁+3x₂=1

الحل: لإيجاد الحل لهذه المعادلات نعيد كتابتها في صيغة مصفوفات:

ولابد من ترتيب المعادلات بحيث نجعل المتغيرات المتشابهة تحت بعض، معاملات المتغيرات المتشابهة تكون تحت بعض يعني متغيرات (X₁) تحت بعض و متغيرات (X₂) تحت بعض.

ثم نوجد المصفوفة المحايدة بإيجاد أولا مصفوفة العناصر المرافقة (C) ثم نوجد محولة هذه المصفوفة وهي (C') ، فنحصل على المصفوفة المحايدة.

هذه هي محولة المصفوفة المحايدة (C') للمصفوفة السابقة.

الآن نوجد محددة المصفوفة للمصفوفة الأصلية (A) كما يلي:

(2x3) - (1x1) = 5 ، إذاً محددة المصفوفة (A) هي (5).

وبتطبيق قانون كريمر (Cramer`s Rule) نحصل على قيم (x₁) و(x₂) بضرب معكوس المصفوفة في عمود القيم.

معكوس المصفوفة A:           

فنضرب معكوس المصفوفة في عمود القيم يعطينا قيم المتغيرات هكذا :

الصف الأول : [(3×7)+(-1×1)]×1/5 = (21+-1) ×1/5 = 20/5 = 4               

الصف الثاني :  [(-1×7)+(2×1)] ×1/5 = (-7+2) ×1/5 = -5/5 = -1             

إذاً قيمة المتغيرات (X₁=4) و (X₂=-1)

وللتأكد يمكن اختبار القيم على المعادلتين في آن واحد.

هناك طريقة بديلة سهلة وسريعة يمكننا استخدامها لتطبيق قانون كريمر (Cramer`s Rule) ، للحصول على نفس النتائج السابقة وهي كالتالي:

نوجد محددة (X₁) بإلغاء العمود الأول (2)و(1) واستبداله بالعمود الأخير (7)و(1)

هذه هي محددة (X₁) ثم أوجدنا قيمتها وهي:      (7×3)-(1×1)  =  20

نوجد محددة (X₂) بإلغاء العمود الثاني (1)و(3) واستبداله بالعمود الأخير (7)و(1)

هذه هي محددة (X₂) ثم أوجدنا قيمتها وهي         (2×1)-(1×7)  =  -5

إذاً ، عليه نحصل على :

قيمة (X₁) = محددة (X₁) تقسيم |A|                         20/5 = 4

قيمة (X₂) = محددة (X₂) تقسيم |A|              -5/5 = -1           

نأخذ مثال آخر:

                                                          3x₁+2x₂+x₃=7

                                                          x₁+x₂+x₃=1

                                                          4x₁+x₂=17

بكتابة هذا النظام بصيغة مصفوفات نحصل على :

الآن نوجد مصفوفة العناصر المرافقة ، وهذه أمامكم المصفوفة الأصلية :

الصف الأول،  العنصر الأول: C11=(-1)²[(1×0)-(1×1)]= -1

العنصر الثاني : C12=(-1)³[(1×0)-(1×4)]= 4

العنصر الثالث : C13=(-1)⁴[(1×1)-(1×4)]= -3

الصف الثاني، العنصر الأول : C21=(-1)³[(2×0)-(1×1)]= 1

                 العنصر الثاني : C22=(-1)⁴[(3×0)-(4×1)]= -4

                 العنصر الثالث : C23=(-1)⁵[(3×1)-(4×2)]= 5

الصف الثالث، العنصر الأول : C31=(-1)⁴[(2×1)-(1×1)]= 1

                 العنصر الثاني : C32=(-1)⁵[(3×1)-(1×1)]= -2

                 العنصر الثالث : C33=(-1)⁶[(3×1)-(2×1)]= 1

الآن نجعل هذه العناصر في مصفوفة بالترتيب :

الآن نوجد محولة المصفوفة (C') بتحويل الصفوف إلى أعمدة أو الأعمدة إلى صفوف :

ثم نوجد محددة المصفوفة الأصلية كالتالي :

الآن نضرب كل عنصر من عناصر الصف الأول للمصفوفة المرافقة في ما يقابله من عناصر الصف الأول في المصفوفة الأصلية، وحاصل جمعهم يعطينا محددة المصفوفة، هكذا :

(-1×3)+(4×2)+(-3×1) = 2 |A|=

بعد ذلك نطبق قانون كريمر :

نضرب عناصر الصف الأول في العمود الأول :

(1/2)×[(-1×7)+(1×2)+(1×17)] = (1/2)×[(-7)+( 2)+(17)] = (1/2) × (12) = 6

نضرب عناصر الصف الثاني في العمود الأول :

(1/2)×[(4×7)+(-4×2)+(-2×17)] = (1/2)×[(28)+(-8)+(-34)] = (1/2) × (-14) = -7

نضرب عناصر الصف الثالث في العمود الأول :

(1/2)×[(-3×7)+(5×2)+(1×17)] = (1/2)×[(-21)+(10)+(17)] = (1/2) × (6) = 3

هناك طريقة بديلة يمكننا استخدامها لتطبيق قانون كريمر للحصول على نفس النتائج السابقة وهي كالتالي:

نوجد محددة (X1) و محددة (X2) و محددة (X3)، بأن نأتي للمصفوفة ونستبدل العمود الأول بالعمود الأخير (عمود المتغيرات) ونوجد المحدد، ثم نستبدل العمود الأوسط بعمود المتغيرات ونوجد المحدد، ثم نستبدل العمود  الأخير بعمود المتغيرات ونوجد المحدد:

عليه فإننا نحصل على التالي:

المحاضرة الثانية عشر

نقوم بتطبيق المفهومين المصفوفات والمعادلات الخطية الآنية في تحليل النماذج الاقتصادية ونتناول على وجه التحديد نموذج للسوق التنافسي البسيط. فنحن نعرف أنه لأي سلعة أو أي عامل إنتاج سوق يتم التداول فيه يتكون من جانبي العرض والطلب، ويتم التفاعل بين المستهلكين والمنتجين، جانب يمثل الطلب وهم المستهلكون او لعوامل الإنتاج إذا كان في السوق عوامل إنتاج أو المستخدمين للسلع إذا كنا نتعامل في سوق السلع.

شرط التوازن في سوق السلع:

D=7-0.5P

S=-3+1.5P

S=D

يوجد لدينا جانب طلب D وجانب عرض S، والعرض فيه دالة (P) تمثل السعر، ونحن نعرف أن هناك علاقة طردية بين السعر (P) والعرض (S)، أي كل ما زاد السعر زاد المعروض من السلعة وعلاقة عكسية بين السعر (P) والطلب (D)، ولذلك عندنا علامة سالب في معادلة الطلب وعلامة موجب في معادلة العرض، وعلامة السالب توضح لنا العلاقة العكسية وعلامة الموجب توضح لنا العلاقة الطردية.

إذا كنا نهدف إلى تحليل توازني في هذا السوق لابد من إضافة شرط للتوازن، وهو أن يكون العرض مساوياً للطلب.

نستند إلى شرط التوازن لإعادة كتابة المعادلتين، بحيث نرمز للرمزين (S) و (D) برمز واحد هو (Q)، وهذا يعني تحقق الشرط الذي هو S=D حتى نتخلص منه، لذلك كتبنا المعادلتين بهذه الصيغة:

Q+0.5P=7

Q-1.5P=-3

عبارة عن معادلتين آنيتين فيهما مجهولين هما (Q) و (P).

الآن كما عملنا في السابق نكتبها على شكل مصفوفات عمود للمعاملات وآخر للمتغيرات:

الآن يمكن حل هذا النظام لإيجاد قيم كل من (Q) و (P). باستخدام قانون كريمر نحصل على القيم التوازنية:

عند تعويض هاتين القيمتين في المعادلين سنجد أن هذه القيم تستوفي المعادلتين في آن واحد وبالتالي تكون هي القيم التوازنية وعند رسم بياني للعرض والطلب سنجد نقطة التقاطع هي هذه القيم.

النموذج الكينزي البسيط:

دالة الدخل والتي فيها أن الدخل الذي يمثل العرض يساوي الطلب الذي يمثله الاستهلاك والاستثمار والإنفاق الحكومي في حالة الاقتصاد المغلق (لا يوجد فيه تجارة خارجية). والاستهلاك دالة في الدخل بحيث أن هناك علاقة طردية بينهما. والميل الحدي للاستهلاك موجب ولكنه أقل من 1. الطريقة البسيطة هي تعويض معادلة الاستهلاك في معادلة الدخل لنكون معادلة واحدة.

C = α + βY

Y=C+I+G

يمكن إعادة كتابة هذا النموذج في صيغة المصفوفات، وذلك بإعادة كتابة المعادلتين بترتيب الحدود:

- βY + C = α

Y – C = I + G

المحاضرة الثالثة عشر

يمكن كتابة المعادلتين بصيغة المصفوفات كالتالي:

وباستخدام قانون كريمر يمكن حل النظام لنحصل على القيم التوازنية وذلك بضرب الطرفين في معكوس المصفوفة الأولى (مصفوفة العناصر المحاذية مقسوماً على محددة المصفوفة) لنحصل على المعادلة التالية:

ولا يمكن أن تكون قيمة (1-β) سالبة لأن بيتا تمثل النزعة الحدية للاستهلاك وتقع بين الصفر والواحد.

مثال للنموذج الكينزي الكامل في الاقتصاد المغلق:

ويتناول سوق السلع وسوق النقود بدون التجارة الخارجية ويتكون من خمس معادلات

Y=C+I+G                      (1)

C=89+0.6Y                    (2)

I=120-150r                    (3)

m^d=240+0.1Y-250r       (4)

m=m^d                                       (5)

وتعتبر المعادلات الثلاث الأولى تخص سوق السلع والمعادلتين الأخيرتين تخص سوق النقود ويوجد في سوق السلع معادلات سلوكية وهي المعادلتين 2 و 3 وتوضح المعادلة 2 سلوك المستهلكين في الطلب على السلع والمعادلة 3 توضح سلوك المستثمرين في الطلب على الاستثمار، والمعادلة الأولى تمثل شرط التوازن في سوق السلع.

والمعادلة 4 هي معادلة سلوكية توضح الطلب على النقود ويتكون من ثلاث أنواع الأول هو الطلب للحيطة والحذر وهو طلب ثابت، والطلب لأغراض المعاملات الاقتصادية وله علاقة طردية مع الدخل القومي، والطلب لأغراض المضاربة ويعتمد عكسياً على سعر الفائدة. والمعادلة الخامسة هي شرط التوازن في سوق النقود حيث المعروض من النقود m يساوي المطلوب من النقود m^d .

وهذه المعادلات الخمس يمكن اختزالها في معادلتين. فالمعادلات الثلاث الأولى يمكن جمعها لتعطينا معادلة التوازن في سوق السلع الذي يوضحها منحنى (IS) والمعادلتين الأخيرتين من الممكن جمعهما ليعطيان معادلة التوازن في سوق النقود الذي يوضحها منحنى (LM). وبذلك ستكون لدينا المعادلتين:

0.4Y+150r=209+G        (1)

0.1Y-250r=240-m                   (2)

المتغيرين G و m متغيرات خارجية تتكون خارج النموذج

المحاضرة الرابعة عشر

الآن يمكن كتابة هاتين المعادلتين في صيغة مصفوفات على النحو التالي:

وباستخدام قانون كريمر يمكن حل النظام لنحصل على القيم التوازنية وذلك بضرب الطرفين في معكوس المصفوفة الأولى (مصفوفة العناصر المحاذية مقسوماً على محددة المصفوفة) لنحصل على قيمة Y و r:

هذا الرسم البياني يوضح النموذج الكينزي البسيط، التوازن في سوق النقود والتوازن في سوق السلع، وهذا التوازن يحدث في آن واحد ، حيث أي من المعادلتين توضحان العلاقة بين Y و r، فمعادلة IS توضح علاقة عكسية بين هذين المتغيرين الداخليين فكلما زادت Y كلما تقلصت r وعند أي نقطة على هذا المنحنى لابد أن تكون I تساوي S أي توازن في سوق السلع، بينما منحنى LM يمثل التوازن في سوق النقود ويوضح علاقة طردية بين Y و r.

في حالة النظر إلى الاقتصاد ككل لابد أن نأخذ التوازن في السوقين في آن واحد بإيجاد القيم التي تمثل المتغيرين Y و r بحيث يكون هناك توازن في سوق السلع وسوق النقود في آن واحد، وهذه النقطة هي نقطة التقاطع بين المنحنيين ولا يوجد نقطة أخرى تمثل التوازن في السوقين لأن المنحنيين خطيين ولا يمكن أن يتقاطعا في أكثر من نقطة.

المحاضرة الخامسة عشر

التفاضل في مجال علم الاقتصاد:

قوانين التفاضل:

1- الدالة الثابتة: نأخذ الدالة التالية:

Y=F(x)=a=ax⁰

حيث Y دالة في x وتكون Y متغير تابع و x متغير مستقل أو عدة متغيرات مستقلة تعتمد عليهم قيمة Y ، و a رقم رمزي أي عدد حقيقي ثابت، وتعتبر هذه الدالة ثابتة لأن قوى x تساوي صفر.

ويمكن تمثيل هذه الدالة بخط أفقي يوازي المحور الأفقي كما يوضح الشكل التالي:

وهنا نستطيع القول أن Y لا تتأثر بـ x لأن قيمة Y عند أي قيمة تأخذها x تكون ثابتة، أي أن تفاضل Y بالنسبة لـ x تساوي صفر.

مثال:                                                   y=F(x)=4

عليه فإن:                                            

وهذه الدالة يمكن تمثيلها بخط مستقيم يوازي المحور الأفقي عند قيمة y=4 .

إذن تفاضل الدالة الثابتة بالنسبة للمغير المستقل تساوي صفر.

2- الدالة الخطية: وتمثل بالمعادلة التالية:

Y=F(x)=ax

ويمكن تمثيل الدالة بيانياً على شكل خط مستقيم غير موازي للمحور الأفقي. وبتفاضل الدالة بالنسبة للمتغير (x) نحصل على التالي لأن أي رقم مرفوع للقوى صفر يساوي 1:

مثال:                                                    y=3x

عليه فإن:                                                

وفي هذه الحالة نستطيع القول أنه إذا زاد المتغير المستقل x بوحدة واحدة سيزيد المتغير التابع 3 وحدات وبنفس الاتجاه أي أن العلاقة طردية.

ففي علم الاقتصاد نحتاج للتفاضل لإيجاد أثر التغير الناتج عن بعض السياسات المالية أو النقدية على الدخل القومي.

3- الدالة غير الخطية: تكون الدالة غير خطية إذا كانت أي من المتغيرات مرفوعة لقوة لا تساوي واحد. أي:

Y=ax^b,   b≠1

وبتفاضل الدالة بالنسبة لـ x نحصل على:

ونلاحظ أن تفاضل الدالة غير الخطية بالنسبة للمتغير المستقل هو أيضاً دالة في ذلك المتغير.

مثال:                                                   y=3x²

عليه فإن:                                         

مثالآخر:                                               y=1.5x^-0.5

عليه فإن:                           

المحاضرة السادسة عشر

4- قانون الجمع والطرح: تفاضل مجموعة من الدوال أو أكثر هو عبارة عن مجموع تفاضل الدوال (الأجزاء) المكونة للدالة، بغض النظر عن ما إذا كانت تلك الدوال خطية أو غير خطية أو مزيج منهما. أي أنه إذا كانت الدالة مكونة من أجزاء (دوال) متعددة، فإن تفاضلها بالنسبة للمتغير المستقل هو عبارة عن مجموع تفاضل كل من تلك الأجزاء بالنسبة للمتغير المستقل.

للتوضيح نأخذ الدالة الأتية والتي هي عبارة عن مجموع دالتين:   y= ax^α+bx^β

بتفاضل الدالة بالنسبة للمتغير x نحصل على:                      

مثال:            

بتفاضل الدالة بالنسبة للمتغير x نحصل على:

مثال آخر:      

بتفاضل الدالة بالنسبة للمتغير x نحصل على:

كما يمكننا جمع الدالتين لأن لهما نفس القوى وإيجاد تفاضل مجموعهما لتعطينا نفس النتيجة:

وفي عملية الطرح نفس الشيء مع تغيير الإشارة.

4- قانون الضرب: إذا كانت الدالة عبارة عن حاصل ضرب دالتين، فإن تفاضلهما يساوي الدالة الأولى مضروبة في تفاضل الدالة الثانية، زائدا الدالة الثانية مضروبة في تفاضل الدالة الأولى.

لاحظ أن كل جزء من الدالة عبارة عن دالة في متغيرين، ولهذا نستخدم التفاضل الجزئي:

مثال:            

بتفاضل الدالة بالنسبة للمتغير x نحصل على:

كما يمكننا ضرب الدالتين وإيجاد تفاضل حاصل ضربهما لتعطينا نفس النتيجة:

المحاضرة السابعة عشر

إذا كانت الدوال y في متغيرين أو أكثر من متغير x1 و x2 و x3 .... الخ، فإننا نلجأ إلى التفاضل الجزئي حيث نقوم بتغيير متغير واحد مستقل وتثبيت المتغيرات المستقلة الأخرى. وكأننا ننظر لأثر واحد من المتغيرات مع تثبيت بقية المتغيرات، ولذلك نستخدم علامة التفاضل الجزئي ( )

حيث أن y يعتمد على حاصل ضرب دالتين فيهما أكثر من متغير x₁ و x₂

بالتفاضل الجزئي بالنسبة للمتغير x₁ نحصل على:

وبالتفاضل الجزئي بالنسبة لـ x₂ نحصل على:

مثال:            

تفاضل الدالة بالنسبة للمتغير (x₁) نحصل على:

تفاضل الدالة بالنسبة للمتغير (x₂) نحصل على:

مثال آخر:                

تفاضل الدالة الجزئي بالنسبة للمتغير (x₁) نحصل على:

تفاضل الدالة الجزئي بالنسبة للمتغير (x₂) نحصل على:

ومن الممكن أن نفك الأقواس أولاً ثم نقوم بعملية التفاضل الجزئي، وهذه الطريقة ستكون أسهل من إتباع الخطوات:

فيكون تفاضل الدالة الجزئي بالنسبة للمتغير (x₁) نحصل على:

ويكون تفاضل الدالة الجزئي بالنسبة للمتغير (x₂) نحصل على:

5- قانون الضرب: إذا كانت الدالة عبارة عن حاصل قسمة دالتين، فإن تفاضلهما يساوي المقام مضروباً في تفاضل البسط، ناقصاً البسط مضروباً في تفاضل المقام، وقسمة الحاصل على المقام تربيع.

التفاضل الكلي للدالة:

مثال:            

بتفاضل الدالة بالنسبة للمتغير x نحصل على:

المحاضرة الثامنة عشر

وبما أن الدالتين F(x) و G(x) هما دالتين في نفس المتغير أي x فإننا نستطيع كتابة الدالة بالصيغة الآتية:

ومنها نحصل على :    

إذا كانت الدوال y في متغيرين أو أكثر من متغير x1 و x2 و x3 .... الخ، فإننا نلجأ إلى التفاضل الجزئي:

مثال:

بالتفاضل بالنسبة للمتغير x₁ نحصل على:

بالتفاضل بالنسبة للمتغير x₂ نحصل على:

6- الدالة اللوغاريثمية: نأخذ الصيغة اللوغاريثمية التالية وهي أبسط دالة لوغاريثمية:

ln ترمز للوغاريثم الذي يستند إلى الأساس e بينما log ترمز للوغاريثم الذي يستند على 10 ، واللوغاريثمات هي واحدة من الطرق التي تستخدم لتحويل القيم الأصلية للدوال أو البيانات إلى لوغاريثمات

في هذه الحالة فإن تفاضل الدالة           

أما إذا كانت الدالة متكونة من جزأين أي دالة في متغيرين:

فإن التفاضل بالنسبة للمتغير المستقل (x₁) هو:

والتفاضل بالنسبة للمتغير المستقل (x₂) هو:

6- الدالة الأسية: تأخذ الصيغة الآتية:            

تفاضل هذه الدالة بالنسبة للزمن (t) هو:                   

وتستخدم هذه الدالة في مجال تحاليل النمو الاقتصادي والسكاني، على سبيل المثال، من المعادلة يمكن حساب معدل النمو (G) للمتغير التابع (Y) عبر الزمن على النحو التالي:

وبما أن y تساوي  فإننا نختصرهما مع بعضهما لتصبح النتيجة النهائية لـ G تساوي الفا α

المحاضرة التاسعة عشر

تطبيقات على التفاضل:

القيم العظمى والقيم الصغرى:

المثال الأول: يتصل بالعلاقة التي تربط بين منحنى التكلفة المتوسطة ومنحنى التكلفة الحدية.

المثال الثاني: سلوك المستهلك واختياره لكميات السلع التي تؤدي لتعظيم المنفعة.

المثال الثالث: يتعلق بإيجاد الشرط الضروري لتقليل مجموع مربعات البواقي في إطار طريقة المربعات الصغيرة لتقدير مؤشرات النموذج.

العلاقة بين التكلفة المتوسطة والتكلفة الحدية: هناك علاقة هامة تربط ما بين منحنى التكلفة المتوسطة (ATC) ومنحنى التكلفة الحدية (MC). والشكل يوضح هذه المنحنيات والتي رسمت بافتراض أن أسعار مدخلات إنتاج ثابتة (أي للمدى القصير) وأن التكلفة المضمنة في منحنى التكلفة المتوسطة المتغيرة (AVC) هي تكلفة المدخلات المتغيرة.

يلاحظ من الشكل أن منحنى التكلفة المتوسطة المتغيرة ينحدر إلى أعلى عند النقطة (B) ليعكس بداية تناقص العائد من مدخلات الإنتاج المتغيرة والمطبقة على كميات ثابتة من المدخلات الأخرى مثل رأس المال والآليات، أي زيادة تكلفة مدخلات الإنتاج.

بالإشارة إلى النقطة B يوجد حقيقتان هامتان هما:

1-    أن التكلفة المتوسطة تزداد أو تكون ثابتة أو تتناقص بازدياد الإنتاج طالما أن التكلفة الحدية أكبر من أو تساوي أو أصغر من التكلفة المتوسطة على التوالي.

2-    أن منحنى التكلفة الحدية يتقاطع مع منحنى التكلفة المتوسطة عند نقطة القيمة الصغرى لمنحنى التكلفة المتوسطة.

وهذا يمكن توضيحه باستخدام عمليات التفاضل. فلتوضيح الحقيقة الأولى نكتب دالة التكلفة الكلية:

حيث دالة التكلفة C هي دالة في مستوى الإنتاج بحيث أنه كلما زاد الإنتاج كلما ارتفعت التكلفة فتكون سي ترايم (C’) موجبة وهي المشتقة الأولى لدالة التكلفة لـ C مع Q ، وحيث أن التكلفة الحدية متزايدة فهذا يعني أن سي دبل ترايم (C’’) موجبة وهي المشتقة الثانية لدالة التكلفة أو المشتقة الأولى لدالة التكلفة الحدية. وكأننا نقول أن دالة الإنتاج متزايدة بصورة متزايدة. فهي تزيد بمعدل أعلى كلما زاد الإنتاج.

ومن الممكن أن نحصل على التكلفة المتوسطة بقسمة التكلفة الكلية على الإنتاج:

وبتفاضل التكلفة المتوسطة والتي هي دالة في متغير واحد Q سنحصل على:

النتيجة النهائية أن تفاضل التكلفة المتوسطة بالنسبة لـQ  يعطينا

والأثر إذا كان أكبر من أو يساوي أو أصغر من الصفر إذا كانت التكلفة الحدية C’(Q) أكبر من أو يساوي أو أصغر من التكلفة المتوسطة C(Q)/Q ، وهو ما يوضح الحقيقة الأولى.

التكلفة المتوسطة تكون موجبة (متزايدة مع تزايد الإنتاج) إذا كانت التكلفة الحدية أكبر من التكلفة المتوسطة، وتساوي صفر إذا تساوت مع التكلفة الحدية، وتكون سالبة (متناقصة مع تزايد الإنتاج) إذا كانت التكلفة الحدية أصغر من التكلفة المتوسطة.

المحاضرة العشرون

أما توضيح الحقيقة الثانية فيتطلب التعرف على نقطة التقاطع (B)، حيث يتطلب الشرط الضروري لنقطة التحول على منحنى التكلفة المتوسطة أن تكون:

يكون ميلان التكلفة المتوسطة يساوي صفر، والذي يعني أن التكلفة الحدية يجب أن تساوي التكلفة المتوسطة عند نقطة تحول دالة التكلفة المتوسطة، أي:

ولمعرفة ما إذا كانت النقطة عبارة عن قيمة صغرى أو قيمة عظمى نقوم بفحص الشرط الكافي وذلك بتفاضل معادلة الشرط الضروري الأصلية لنحصل على:

الشرط الضروري هو:           

وبما أن الشرط الكافي بحيث أن المشتقة الثانية موجبة ما يعني أن ميلان الخط بعد هذه النقطة موجب فهذا يعني أن التكلفة ترتفع مع ارتفاع الإنتاج ما يعني نقطة التقاطع B عبارة عن القيمة الصغرى لتلك الدالة.

المحاضرة الواحدة والعشرون

تعظيم المنفعة:

هذا المثال يتصل بالأمثلية المقيدة والذي يقع في إطار نظرية المستهلك، حيث يقوم باختيار الكميات التي يستهلكها من سلعتين (x₁) و (x₂) بهدف تعظيم المنفعة واضعاً في الاعتبار قيد الدخل. ولهذا الغرض نفرض أن دالة المنفعة تأخذ الصيغة التالية:

دالة المنفعة U هي دالة في السلعتين x₁ و x₂ .

إذا كان المستهلك يواجه أسعاراً للسلع (P1) و (P2) وكان دخله m، فإن قيد الدخل يكون:

ما يعني أن المستهلك لا يمكن أن يتصرف بأكثر من الموارد المتوفرة وهذه مشكلة تعظيم المنفعة المقيدة.

ولهذه المشكلة نكتب دالة لاقرانج (L) وهي دالة في x₁ و x₂ وما يسمى بمضاعف لاقرانج 𝜆 وتأخذ الصيغة:

من هذه الدالة نقوم بإيجاد الشرط الضروري لتعظيم المنفعة، فتأتي عملية استخدام التفاضل فلإيجاد الشرط الضروري لتعظيم المنفعة نوجد المعادلات التالية:

هذه ثلاث معادلات آنية في ثلاث متغيرات. من المعادلتين (1) و (2) نحصل على:

منها نحصل على:                              

بتعويض المعادلة (4) في المعادلة (3) نحصل على:

وعليه فإن:                                       

بتعويض المعادلة (5) في المعادلة (4) نحصل على:

وعليه فإن:                                       

القيم في المعادلتين (5) و (6) هي عبارة عن دوال الطلب المارشالية على السلعتين. وهي القيم التي تؤدي إلى تعظيم منفعة المستهلك، أي الكميات من السلعتين التي تؤدي لتعظيم المنفعة بالنسبة للمستهلك. كما يمكن استخدام المعادلتين (5) و (6) لفحص بعض الخواص للدوال، كالتأكد من أن الدوال تستوفي خواص الطلب والذي يقول أن الطلب على السلعة دالة عكسية في سعرها. مون الواضح في المعادلتين أن الدوال عكسية. وبنفس الطريقة من الممكن الاستنتاج من المشتقات (5) و (6) أنه كلما أرتفع الدخل كلما زاد الطلب على السلعتين والعكس، كما من الممكن استنتاج مرونات الطلب السعرية والدخلية.

المحاضرة الثانية والعشرون

تقليل مجموع مربعات البواقي:

يهتم النموذج المتعدد بتطبيق طريقة المربعات الصغرى لتقدير مؤشرات النموذج لإيجاد القيمة الصغرى لمجموع مربعات البواقي لأننا نقلل مجموع مربعات البواقي. وللتبسيط ودون التأثير على النموذج في صيغته بالمعادلة (1)، نفترض أن النموذج يحتوي على متغيرين مستقلين (مفسرين) فقط, عليه يأخذ النموذج الصيغة التالية:

هذا نموذج انحدار خطي متعدد لأنه يحتوي على العديد من المتغيرات المستقلة. ويمكن كتابة النموذج في صيغة المصفوفات كالتالي حيث نكتب معادلة لكل مشاهدة حيث أن :

Y₁ = الصف الأول من المصفوفة × مصفوفة الـ β + الصف الأول من مصفوفة u

Y₂ = الصف الثاني من المصفوفة × مصفوفة الـ β + الصف الثاني من مصفوفة u

وهكذا إلى أن نصل إلى Y_t

نريد أن نختار القيم من β₁ و β₂ و β₃ التي تعطينا أٌقل قيمة لمجموع مربعات البواقي S.

فإذن نحتاج إيجاد مجموع مربعات البواقي حسب المعادلة:

نوجد الشرط الضروري بالتفاضل الجزئي:

تفاضل القوس ضرب تفاضل ما بداخل القوس وهو تفاضل β₁ ويساوي -1

وبنفس الطريقة تفاضل S بالنسبة لـ β₂ و β₃

هذه المعادلات الثلاث يمكن إعادة كتابتها بعد ترتيب الحدود لنتمكن من كتابتها في صيغة مصفوفات على النحو التالي:

هذه ثلاث معادلات في ثلاث مجهولات β₁ و β₂ و β₃ ويمكن حلها لإيجاد قيم تلك المؤشرات التي تؤدي إلى تقليل مجموع مربعات الحدود العشوائية. ولهذا الغرض نكتب المعادلات في صيغة المصفوفات كما يلي:

ولإيجاد قيم β₁ و β₂ و β₃ نضرب في معكوس المصفوفة :

وعلى ضوء المعادلة نستخدم الرموز التالية للمصفوفات والاعمدة:

وبالتالي يمكن كتابة النموذج في الصيغة:

ونقول هنا  ولا نقول  لأنها هذه الحالة التي تستوفي ضرب المصفوفات عدد أعمد X لا بد أن يساوي عدد صفوف β.

من المصفوفات X و Y نحصل على التالي:

إذا ضربنا محولة المصفوفة X في X نحصل على:

كذالك إذا أخذنا محولة المصفوفة X وضربناها في Y تعطينا التالي:

وعليه فإن بالإمكان كتابة المعادلة (4) في الصيغة التالية:

=(X’X)^-1X’Y

النموذج في صيغة الانحراف من المتوسطات:

تكون صيغة الانحراف من المتوسطات أي الانحراف من القيم المتوسطة للمتغيرات للنموذج المتعدد بعد إضافة الحد العشوائي هي:

الفرق الأول أننا الغينا القاطع وهو β1 ، والفرق الثاني أننا استخدما رمزي x  و y صغيرتين لأنها ترمز للانحراف من متوسطات.

في هذه الحالة تكون مشكلة الأمثلية هي:

الآن نحاول إيجاد القيمة الصغرى بإختيار β2 و β3 وفي هذه الحالة فإن الشرط الضروري يتكون من معادلتين:

هاتين معادلتين في مجهولين هما المؤشرات β2 و β3 ويمكن حلها لإيجاد قيم تلك المؤشرات التي تؤدي إلى تقليل مجموع مربعات الحدود العشوائية, ولهذا الغرض نكتب المعادلتين في صيغة مصفوفات:

ومنها نحصل على تقديرات المؤشرات: