الإحصاء الحيوى
§ المقرر
o
الفصول من 1-8 كتاب أساسيات الإحصاء
الحيوى.
o
الفصل الأول والثانى مقاييس
النزعة المركزية ومقاييس التشتت
o
الفصل الثالث : الاحتمالات
o
الفصل الرابع : التوزيعات
الاحتمالية المنفصلة
o
الفصل الخامس : التوزيعات
الاحتمالية المتصلة
o
الفصل السادس :التقدير
o
الفصل السابع والثامن : اختبارات
الفروض
الاحتمال
Probability
بنهاية هذا
الفصل يكون الدارس على دراية تامة بما يلى :
o تعريف الاحتمال – الأحداث التابعة والمستقلة – قانون جمع الاحتمالات –
الاحتمال الشرطى – قاعدة بيز – احتمال الإصابة والانتشار
توضيح
بعض التعاريف
o تعريف النسبة : هى ناتج قسمة بسط على مقام قد يكون للبسط علاقة بالمقام
(نسبة النوع ) أو لا ( نسبة الذكور)
o تعريف المعدل : هو ناتج قسمة يسط على مقام يكون البسط جزء محدد منه مع الأخذ
فى الاعتبار زمن التعرض ( معدل الخصوبة ) ولتبسيط الحسابات يكون زمن التعرض منتصف
الفترة الزمنية على اعتبار ان الأحداث حدثت بانتظام طوال هذه الفترة
o تعريف الاحتمال : هو ناتج قسمة يسط على مقام يكون البسط جزء محدد منه فى
أول فترة زمنية محددة اى فى أول فترة زمن التعرض ( احتمال البقاء على قيد الحياة )
وهذا يفسر لنا التعريف الاحصائى للاحتمال وهو مقياس لإمكانية وقوع حدث أو فعل معين
( حيث ان الحدث أو الفعل له زمن حدوث كما ان هذا الحدث يكون جزء من مجموعة أحداث
معينة تمثل جميع الأحداث الممكنة )
تعريف
الاحتمال
o هو مقياس لإمكانية وقوع حدث Event أو فعل معين و إحصائيا تستخدم الاحتمالات فى التجارب
العشوائية لمعرفة فضاء العينة وتوقع الأحداث ونسبة حدوث كل حدث وذلك فى عدد كبير
من التجارب وقيمته كسر موجب بين الصفر(حدث مستحيل ) والواحد الصحيح ( حدث مؤكد ) وهو يساوى عدد
الحالات المواتية منسوبا الى عدد الحالات الممكنة أو هو التكرار النسبى لظهور حدث مهتمين
به فى حجم عينة كبير جدا ونرمز له فى هذا المقرر بالرمز Pr.
o مثال : عند رمى عملة عدد ن من المرات فان فضاء العينة Sample Space يساوى ( عدد الأحداث ( صورة –
كتابة ) = 2 out
comes ) مرفوعا للأس ن
o وتقسم الأحداث الى : أحداث مؤكدة Sure events – أحداث مستحيلة impossible events – أحداث محتملة Probable events – أحداث مانعة ( متنافية ) mutuality
exclusive events
الحالات الممكنة :
هى جميع النتائج التى يمكن
ان تظهر نتيجة إجراء تجربة معينة
الحالات المواتية : هى جميع النتائج التى يمكن ان تظهر نتيجة إجراء تجربة
معينة وتؤدى الى تحقيق الحدث محل اهتمامنا
الأحداث الشاملة : هى الحوادث التى تكون معا فضاء العينة أو هى الأحداث
التى تكون معا جميع الحالات الممكنة
الأحداث المتنافية : هى الحوادث التى لايمكن ان تظهر معا
الأحداث المستقلة independent events: هى الحوادث التى لايؤثر ظهور احدها على ظهور
الاخر
§ لاحظ ان :
o احتمال حدوث الحدث ( A
) يساوى عدد مرات حدوثه ( التكرارات ) مقسوما على عدد المشاهدات ( فضاء العينة )
وعبر عن ذلك رياضيا بالشكل التالى :
§ Pr
(A)=1/ total number of out comes with respect to 0≥Pr
(A) ≥1
§ قانون جمع الاحتمالات
1- الأحداث المتنافية
§ احتمال حدوث أ أو ب تساوى احتمال حدوث أ + احتمال حدوث ب
§ Pr (A or B) = Pr (AÈB)=
Pr (A)+ Pr (B)
§ احتمال مكمل الحدث هو احتمال عدم حدوث أ وهو يساوى 1- احتمال حدوث أ ( يساوى
احتمال حدوث ب إذا كان الحدثان شاملين ) مثل مدخن وغير مدخن أو مريض وسليم أو نتيجة
اختبار موجبة ونتيجة اختبار سالبة
§ احتمال حدوث أ بشرط حدوث ب ( وهما حدثان متنافيان ) = صفر
2- الأحداث المستقلة
§ احتمال أ أو ب تساوى احتمال حدوث أ + احتمال حدوث ب – احتمال حدوثهما معا
§ Pr (A or B) = Pr (AÈB)=
Pr (A)+ Pr (B)- Pr (AÇB)
§ حالة خاصة من قانون جمع الاحتمالات )إذا كان الحدثان A ; Bمستقلين )
§ Pr
(A or B)= Pr (A)+ Pr (B)- Pr (A). Pr (B)
§ Pr
(A or B)= Pr (A)+ { Pr (B)- Pr (A). Pr (B)}
§ Pr
(A or B)= Pr (A)+ Pr (B).{1- Pr (A)}
§ Pr
(A or B)= Pr (A)+ Pr (B). Pr (Ā)
§ الاحتمال الشرطى: هو احتمال وقوع حدث بشرط وقوع أو عدم وقوع حدث اخر وهنا
يوجد تأثير للأحداث غير المستقلة بمعنى انه إذا كنت ابحث وقوع حدث بشرط وقوع حدث ثان
فانى يجب على ان ابحث هل وقوع الحدث الثانى سيؤثر على احتمال وقوع الحدث الأول ام
لا ويمكن ان نصيغ ذلك باللغة الإنجليزية كما يلى :-
§ We
define the quantity Pr (A and B)/ Pr (A) as a condition probability of B given
A which we write as Pr (B|A)
مثال : صندوق به 10 كرات حمراء ، 10 كرات بيضاء ما
احتمال سحب كرتين حمراء ؟ ( هذا احتمال شرطى لكن هل اثر سحب الكرة الاولى على
احتمال ظهور الكرة الثانية؟ ) اذا سحبت الكرة الاولى فان احتمال ان تكون حمراء هو
10 / 20 انظر هل أثر ذلك على احتمال ان تكون الكرة الثانية حمراء ؟ يوجد طريقين :
الأول ان ارجع الكرة مرة أخرى إلى الصندوق ( فى هذه الحالة كان الحدث الأول غير
مؤثر فى الحدث الثانى اى حوادث مستقلة ) فيكون احتمال سحب الكرة الثانية حمراء
10/20 ويكون احتمال سحب الكرتين حمراء 10/20 * 10/20 = 100/400 = ¼ الطريق الثانى ان لا ارجع الكرة مرة أخرى إلى
الصندوق فيكون فى الصندوق 9 كرات حمراء ، 10 كرات بيضاء ( فى هذه الحالة اثر سحب
الكرة الاولى على احتمال ظهور الثانية اى أحداث غير مستقلة ) ويكون احتمال سحب
الكرة الثانية حمراء = 9/19 ويكون احتمال ان تكون الكرتين حمراء = 10/20*9/19 =
9/38
§ من هذا المثال نخرج بقانون الاحتمال الشرطى للحوادث المستقلة وهو :
§ احتمال حدوث أ ، ب تساوى احتمال حدوث أ مضروبا فى احتمال حدوث ب ( مشروط )
§ Pr (A and B) = Pr (A). Pr (B)
§ بقسمة طرفى المعادلة على Pr (A) تنتج المعادلة التالية:
§ Pr
(A and B) / Pr (A) = Pr (B|A)= Pr (B)
§ وبنفس الطريقة يكون
§ Pr
(Ā and B) / Pr (Ā) = Pr (B| Ā)= Pr (B)
§ So
Pr (B| Ā)= Pr (B) = (B| A)
§ ويكون قانون الاحتمال الشرطى للحوادث غير المستقلة
§ احتمال أ ، ب تساوى احتمال حدوث أ مضروبا فى احتمال حدوث ب ( مشروط )
§ Pr
(A and B) = Pr (AÇB)≠ Pr (A). Pr (B)
§ Pr (A,B) = Pr (AÇB)=
Pr (A). Pr (A/B)
§ لاحظ أننا فى الإحصاء الحيوى سنتعامل مع احتمالات لنتائج اختبارات لوجود
أمراض ( موجب ، سالب ) واحتمالات لظهور أعراض لهذه الأمراض ( موجود ، غير موجود ) بكثرة
لذا يجب ان نوضح بعض المفاهيم:
o
A+ نرمز بها لاحتمال اختبار المرض الموجب
o
A- نرمز بها لاحتمال اختبار المرض سالب وعلى ذلك
يكون A-
هو مكمل A+( حدثان متنافيان شاملان )
o
B+ نرمز بها لاحتمال وجود عرض المرض
o
B- نرمز بها لاحتمال وجود عرض المرض وعلى ذلك يكون B- هو مكمل B+( حدثان متنافيان شاملان )
o
§ نسبة الخطر ( الخطر النسبى ) هى احتمال ظهور المرض بشرط ان اختبار المرض
موجب بالنسبة إلى احتمال ظهور المرض بشرط ان اختبار المرض سالب فاذا كانت هذه
النسبة = 1 فان ذلك يعنى ان اختبار المرض ليس له قيمة ( لان ذلك يعنى انه لايوجد
ارتباط بين وجود المرض ونتيجة هذا الاختبار ) اما إذا كانت هذه النسبة اقل من
الواحد فان ذلك يعنى ان نتيجة الاختبار السالبة تعنى وجود المرض اما إذا كانت
كبيرة فان ذلك يعنى ان هذا الاختبار جيد ويحدد بدقة ( كفاءة ) وجود المرض أو عدم
وجوده ويعبر عن ذلك إحصائيا بالمعادلة التالية:
§ RR
( Relative Risk ) = Pr (B| A) / Pr (B| Ā)
§ وبشكل آخر
§ RR
= Pr (B+| A+) / Pr (B+| A-)
§ مثال على نسبة الخطر ( الخطر النسبى )
بفرض ان فرد واحد من 10 الاف فرد اجتازوا اختبار المرض
سلبيا يكون عنده المرض فعلا بينما يوجد فرد واحد من مائة فرد اظهر اختبار المرض
انهم مرضى يكون غير مريض فعلا ، احسب الخطر النسبى وعلق على النتيجة .
الحل
§ RR
( Relative Risk ) = Pr (B| A) / Pr (B| Ā)
إذن
الخطر النسبى = 0.0001 / 0.01 = 100
الخطر النسبى لا تساوى 1 ومعنى ذلك انه يوجد فائدة من
عمل هذا الاختبار كما ان الخطر النسبى عالى جدا = 100 ومعنى ذلك ان فائدة هذا
الاختبار كبيرة فهو يكشف عن وجود المرض بكفاءة ودقة
وبكلمات أخرى : فان نسبة ظهور المرض فى الشخص موجب
الاختبار 100 مثل لنسبة ظهور المرض فى الشخص سالب الاختبار فانه من المنطقى
استخدام هذا الاختبار لكشف وجود المرض
§ مثال آخر على نسبة الخطر
احسب
الاحتمال الشرطى لطبيب A يؤكد وجود مرض ما بشرط ان طبيب B يكون قد اكد وجود المرض لشخص ما إذا
كان الطبيب الأول يصنف 10% من مرضاه موجب للمرض بينما الطبيب الثانى يصنف 17% من
مرضاه موجب للمرض بينما هما الاثنين معا يصنفا 8% من المرضى موجب للمرض
الحل
§ Pr
(B+| A+)= Pr (B+ and A+) / Pr (A+)
إذن
احتمال ان يؤكد الطبيب A نتيجة اختبار الطبيب B = 0.08 / 0.1 = 0.80
اى ان الطبيب A يؤكد نتائج الطبيب B بنسبة 80% وذلك فى حالة الايجابية
للمرض اما عدم موافقته له فى حالة الإيجابية للمرض تكون :
§ Pr
(B+| A-)= Pr (B+ and A-) / Pr (A-) = Pr
(B+ and A-) / 0.9
لكن المقدار Pr
(B+ and A-)غير محدد لدينا لذا يجب علينا ايجاده كيف؟
ببساطة احتمال ان يؤكد الطبيب B وجود المرض = احتمال ان يؤكده
بشرط ان الطبيب A أكده + احتمال ان يكون أكده بشرط ان الطبيب A لم يؤكده اى ان :
§ Pr
( B+ )= Pr (B+ and A+) + Pr (B+ and A-)
اذن 0.17 = 0.08 + Pr (B+ and A-)
Pr (B+ and A-) = 0.09
ويكون
§ Pr
(B+| A-)= Pr (B+ and A-) / Pr (A-) =
0.09 / 0.9 = 0.1
§ وهذا يعنى ان الطبيب A
ينفى وجود المرض عندما يؤكده الطبيب B
بنسبة 10%
§ كما ان الخطر النسبى اى شرط تأكيد الطبيب A لنتائج الطبيب B ينتج من المعادلة :
§ RR
( Relative Risk ) = Pr (B| A) / Pr (B| Ā)
إذن
الخطر النسبى = 0.8/0.1 = 8
التعليق : اى ان الطبيب B يؤكد ان المريض مصاب عندما يؤكد الطبيبA ذلك 8 مرات مثل
تأكيد الطبيب B
ان المريض مصاب بينما ينفى الطبيب A
ذلك
§ ومن هذا المثال يمكن إيجاد علاقة عامة بالشكل التالى :
§ Pr
( B )= Pr (B|A) . Pr (A) + Pr (B| Ā) . Pr (Ā)
§ القيمة التنبوئية السلبية Negative predictive value هى احتمال عدم وجود المرض مع اختبار نتيجة مرض سلبية
(أو عدم ظهور أى أعراض للمرض)
§ PV-=
Pr (D-|T-)
§ PV-
= (1-x).sp/[(1-x).sp+(x).(1-s)]
Where T+ =
Positive test ; T- = negative test ; D+ = Disease ; D-
= no disease ;X = Pr (Disease in the general population); S =
sensitivity ; Sp = specificity
§ القيمة التنبوئية الموجبة Positive predictive value هى احتمال وجود المرض مع اختبار نتيجة مرض موجبة ( أو
ظهور أحد أعراض المرض أو أكثر)
§ PV+=
Pr (D+|T+)
§ PV+
= x.s/[x.s+(1- x).(1-sp)]
§ اختبار الحساسية Sensitivity هى احتمال نتيجة
اختبار مرض موجبة (أو ظهور أحد أعراض المرض أو أكثر ) بشرط وجود المرض
§ Sensitivity
= Pr (T+|D+)
§ المقدرة التحديدية Specificity هى احتمال نتيجة اختبار مرض سلبية (أو عدم ظهور أى أعراض للمرض) بشرط عدم
وجود المرض
§ Specificity
= Pr (T-|D-)
§ نتيجة الاختبار السلبى الزائفة False Negative predictive
value هى احتمال وجود المرض مع اختبار
نتيجة مرض سلبية (أو عدم ظهور أى أعراض للمرض)
§ Pr
(F-)= Pr (D+|T-)
§ نتيجة الاختبار الايجابى الزائفة False Positive predictive
value هى احتمال عدم وجود المرض مع
اختبار نتيجة مرض موجبة ( أو ظهور أحد أعراض المرض أو أكثر )
§ Pr
(F+)= Pr (D-|T+)
§ مثال على ماسبق :
افترض
ان 84% مرضى ضغط دم ، 23% من الأصحاء يتم تصنيفهم على أنهم مرضى ضغط دم بواسطة
ماكينة اختبار احسب القيمة التنبوئية الموجبة والسلبية مع اعتبار ان 20% من السكان
مرضى بضغط الدم.
الحل
84% اختبار موجب بشرط انهم مرضى = s ، 23% نتيجة اختبار سلبية بشرط أنهم مرضى =1-sp
20%
احتمال المرض فى المجتمع = x
§ PV+
= x.s/[x.s+(1- x).(1-sp)]
§ PV+=0.2*0.84/[0.2*0.84+(1-0.2)*(0.23)]=0.4773
§ وهذا يعنى ان القيمة التنبؤية الموجبة لهذه الماكينة تؤكد إصابة 47.73% من
المرضى الفعليين وهذه نتيجة غير مرضية
§ PV-
= (1-x).sp/[(1-x).sp+(x).(1-s)]
§ PV-=0.8*0.77/[0.8*0.77+(0.2)*(0.16)]=0.9506
§ وهذا يعنى ان القيمة التنبؤية السلبية لهذه الماكينة تؤكد عدم إصابة 95.06%
من غير المرضى وهذه نتيجة غير مرضية جدا
§ من المثال السابق نخرج لصيغة عامة وذلك نظرا لوجود اكثر من عرض واحد أو
اختبار واحد لكل مرض وتسمى هذه الصيغة العامة بقاعدة ( قانون ) بيز وهى بالشكل
التالى :
§ 
§ مثال توضيحى على قاعدة بيز
افترض
ان رجل اكبر من 60 سنة لم يدخن أبدا فذهب لطبيب يشكو من كحة مزمنة وحالات ضيق فى
التنفس ، اهتم الطبيب وأرسله إلى المستشفى لعمل فحص على الرئة كانت النتيجة تتكون
من ثلاثة احتمالات سليم ، سرطان ، مرض خفيف افرض ان احتمال العرض ( الكحة المزمنة
، حالات ضيق فى التنفس A ) بشرط الاحتمالات الثلاثة هى على الترتيب :
0.001 ، 0.9 ، 0.9 وكانت الاحتمالات الثلاثة فى المجتمع للأفراد الذين بلغوا 60 عاما ولم يدخنوا هى على الترتيب : 0.99 ،
0.001 ، 0.009 ماهو احتمال ان يكون هذا الرجل مصابا بالسرطان أو مرض العادى أو ان
يكون سليما ؟
§ 
§ Pr
( B1 )= .99
§ Pr
( B2 )=.001
§ Pr
( B3 )=.009
§ Pr
(A|B1)=.001
§ Pr
(A|B2)=.9
§ Pr
(A|B3)=.9
§ 
§ 
§ 
§ مثال اخر : فى المثال السابق افترض ان هذا الرجل كان يدخن وفى هذه الحالة
تتغير الاحتمالات الثلاثة فى المجتمع إلى : 0.89 ، 0.015 ، 0.005 ماهو احتمال ان
يكون هذا الرجل مصابا بالسرطان أو مرض العادى أو ان يكون سليما ؟
§
§ Pr
( B1 )= .98
§ Pr
( B2 )=.015
§ Pr
( B3 )=.005
§ Pr
(A|B1)=.001
§ Pr
(A|B2)=.9
§ Pr
(A|B3)=.9
§ 
§ 
§ 
§ معدل الانتشار: Prevalence هو احتمال وجود شخص يحمل المرض حاليا بغض النظر عن
فترة بداية المرض ويساوى عدد الأفراد المصابين بالمرض الآن بالنسبة لعدد أفراد
العينة ( أو المجتمع )
§ معدل الإصابة : Incidence هو احتمال ظهور حالة جديدة من المرض فى فترة
زمنية معينة بين السكان الغير مصابين بهذا المرض فى بداية الفترة الزمنية
التوزيعات الاحتمالية المتقطعة
§ فى الامثلة السابقة تعاملنا مع أحداث محددة مثل قياس كفاءة جهاز أو امراض
ضغط الدم ولكن اذا اردنا ايجاد قاعدة عامة تصلح لاى غرض فاننا يجب نعرف مفهوم
المتغير العشوائى وهو كمية مقيّمة عدديا تَأْخذُ قِيَمَ مُخْتَلِفةَ تَعتمدُ على
الفرصةِ ( الاحتمال )
§ ويوجد منه نوعان هامان هما المتغير العشوائى المتقطع وهو المتغير العشوائى
الذى يأخذ قيم محددة قابلة للعد باحتمال موجب ( يتعامل مع نقاط عددها N)
§ والمتغير العشوائى المتصل : وهو اى متغير عشوائى خلاف المتغير العشوائى
المتقطع ( يتعامل مع فترة )
§ دالة كثافة الاحتمال The Probability Mass Function هى علاقة رياضية تخصص لقيمة معينة r احتمال قدره Pr ( X = r
)وذلك
لكل قيمة من قيم r وقد يطلق عليها مفهوم التوزيع
الاحتمالى Probability Distribution بحيث يكون احتمال
r عند كل قيمة لها بين الصفر والواحد الصحيح و
مجموع احتمالات r
= الواحد الصحيح ويمكن التعبير عن ذلك رياضيا بالشكل التالى :
§ 
§ مثال : الجدول التالى يوضح انه عند القيم المختلفة للمتغير r وهو عدد جرعات الدواء التى يأخذها مرضى ضغط الدم حتى يشفى تماما ( 0 ،
1 ، 2 ، 3 ، 4 ) توجد احتمالات لكل قيمة من قيم هذا المتغير ( 0.008 ، 0.076 ،
0.265 ، 0.411 ، 0.240 ) وكل قيمة احتمال مخصصة لكل قيمة من قيم r بين الصفر ، الواحد الصحيح
ومجموع جميع قيم الاحتمالات المخصصة لجميع قيم المتغير r تساوى الواحد
الصحيح مع ملاحظة ان المتغير r قد يكون إصابة أفراد بمرض معين أو نوع دواء وتأثيره
على فى اختفاء المرض أو ......
r
|
Pr(X=r)
|
0
|
0.008
|
1
|
0.076
|
2
|
0.265
|
3
|
0.411
|
4
|
0.240
|
Total
|
1
|
§ القيمة المتوقعة للمتغير العشوائى The expected
value of a random variable
o
هى القيمة المتوسطة للمتغير
العشوائى وتساوى مجموع حاصل ضرب كل قيمه للمتغير العشوائى فى احتمال هذه القيمة وتكتب
رياضيا بالشكل التالى : 
o وعلى ذلك تكون القيمة المتوقعة للمتغير r فى المثال = E(X)=0(0.008)+1(0.076)+2(0.265)+3(0.411)+4(0.240)=2.8
o ويكون التعليق على النتيجة المتحصل عليها كما يلى: فى المتوسط نتوقع ان مريض
ضغط الدم يشفى من المرض بعد عدد جرعات قدره 2.8 جرعة عند تعرضه للمعالجة لعدد اربع
جرعات من الدواء.
§ تباين المتغير العشوائى The Variance of a random
variable
o تساوى مجموع حاصل ضرب مربعات فروق القيم عن المتوسط فى احتمال هذه القيمة
وتكتب رياضيا بالشكل التالى : 
كما يمكن استخدام الصيغة
المختصرة التالية : 
كما يمكن استخدام الصيغة
المختصرة التالية :
§ الانحراف المعيارى للمتغير العشوائى The Standard
deviation of a random variable
o
يساوى الجذر التربيعى للتباين
§ مثال : كان التوزيع الاحتمالى لعدد مرات حدوث التهاب الاذن الوسطى بين
الاطفال اقل من سنتين حسب الجدول التالى :
Pr(X=r)
|
|
0
|
0.129
|
1
|
0.264
|
2
|
0.271
|
3
|
0.185
|
4
|
0.095
|
5
|
0.039
|
6
|
0.017
|
Total
|
1
|
§ احسب التباين والانحراف المعيارى
o
اولا : حساب القيمة المتوقعة
للمتغير العشوائى ( المتوسط )
o
ثانيا : حساب تباين المتغير
العشوائى
o
ثالثا : حساب الانحراف
المعيارى للمتغير العشوائى 
o
رابعا : التعليق
o : فى المتوسط نتوقع ان يصاب
الطفل الاقل من سنتين بمقدار 2.04 ( مرتين
تقريبا ) بالتهاب الاذن الوسطى وتختلف عدد مرات اصابة الاطفال بالتهاب
الاذن الوسطى فيما بينها عن هذا المتوسط بمقدار1.97 ( مرتين تقريبا ) وانحراف
معيارى قدره 1.4 مرة.
§ دالة التوزيع التكرارى للمتغير العشوائى The
cumulative distribution of a random variable
o
هى عبارة عن مجموع احتمالات
ظهور المتغير العشوائى حتى قيمة معينة فيه ويعبر عن عن ذلك رياضيا بانها
o
F(X)=Pr (X;X
x)
x)
§ مثال : كان التوزيع الاحتمالى لعدد مرات حدوث التهاب الاذن الوسطى بين
الاطفال اقل من سنتين حسب الجدول التالى :
r
|
Pr(X=r)
|
0
|
0.129
|
1
|
0.264
|
2
|
0.271
|
3
|
0.185
|
4
|
0.095
|
5
|
0.039
|
6
|
0.017
|
Total
|
1
|
ارسم دالة التوزيع التكرارى لعدد مرات حدوث التهاب
بالاذن الوسطى للاطفال اقل من سنتين
§ اولا : نكون جدول التوزيع التكرارى لعدد مرات حدوث التهاب بالاذن الوسطى
للاطفال اقل من سنتين كما يلى:
r
|
Pr(X=r)
|
F(X
r) |
0
|
0.129
|
0.129
|
1
|
0.264
|
0.393
|
2
|
0.271
|
0.664
|
3
|
0.185
|
0.849
|
4
|
0.095
|
0.944
|
5
|
0.039
|
0.983
|
6
|
0.017
|
1
|
Total
|
1
|
§ ثانيا : نرسم دالة التوزيع التكرارى لعدد مرات حدوث التهاب بالاذن الوسطى
للاطفال اقل من سنتين كما يلى:
§ توزيع ثنائى الحدين The Binomial Distribution
o
هو احد التوزيعات العشوائية
المتقطعة والتى تستخدم بكثرة فى المجال الطبى والحيوى
o
شروط استخدام توزيع ذى الحدين
هى:
o
يوجد عدد محدد ( معروف ) من
مرات حدوث التجربة
o
كل تجربة مستقلة تماما عن
الاخرى ( المحاولات مستقلة )
o
فضاء العينة حالتين فقط (
نجاح أو فشل )
o
احتمال الحدث المهتمين به (
النجاح ) ثابت فى كل محاولة
o
الصيغة الرياضية : 
حيث k هى عدد مرات حدوث الحدث المراد ايجاد احتمال لحدوثه
، p احتمال
النجاح ( لاحظ انه احتمال حدوث الحدث المهتمين بحدوثه بمعنى انه اذا كانت المعطيات
هى احتمال ولادة بنت 0.45 والمطلوب هو ما احتمال ولادة ولد ؟ فان احتمال النجاح
هنا ليس 0.45 بل 0.55 لانه الحدث المهتمين بحدوثه) ، q هى احتمال الفشل ، n عدد مرات اجراء التجربة
حيث k هى عدد مرات حدوث الحدث المراد ايجاد احتمال لحدوثه
، p احتمال
النجاح ( لاحظ انه احتمال حدوث الحدث المهتمين بحدوثه بمعنى انه اذا كانت المعطيات
هى احتمال ولادة بنت 0.45 والمطلوب هو ما احتمال ولادة ولد ؟ فان احتمال النجاح
هنا ليس 0.45 بل 0.55 لانه الحدث المهتمين بحدوثه) ، q هى احتمال الفشل ، n عدد مرات اجراء التجربة
o
طريقة الحل :
o
كتابة المعطيات
o
كتابة المطلوب
o
كتابة القانون
o
الحل
o
صورة اخرى لقانون توزيع ذى
الحدين ( عند وجود قيمة معينة للمتغير لها احتمال)
o 
o
متوسط ذى الحدين np حيث p احتمال النجاح ، n عدد مرات اجراء التجربة
o
تباين توزيع ذى الحدين npq حيث p احتمال النجاح ، q احتمال الفشل ، n عدد مرات اجراء التجربة
o
الأشكال البيانية المختلفة
لتوزيع ذى الحدين
§ مثال على توزيع ذى الحدين
§
اذا علمت ان احتمال وفاة سيدة
اكبر من 65 عاما بسبب التطعيم ضد فيروس الانفلوانزا هو 0.028 فاذا تم تطعيم 100
سيدة اوجد متوسط حالات الوفاة بين السيدات والتباين وكذلك ما احتمال ان يتوفى منهن
سيدتين على الاكثر ، ما احتمال ان يتوفى منهن سيدتين وما احتمال ان يتوفى اكثر من
سيدتين ؟
§
الحل
o
المعطيات
o n =100 ; k = 2 ; p = 0.028
o
المطلوب
o p(x2) ; p(x
2) ;E(x) ; Var(x) ;
2) ; p(x2) ;E(x) ; Var(x) ;
o
القانون
o ; E(x) = np ; Var(x) =
npq
; E(x) = np ; Var(x) =
npq
o الحل
·
المتوسط = 100*0.028= 2.8
سيدة اى انه من المتوقع ان يتوفى حوالى ثلاث سيدات اذا تم عمل هذا التطعيم
· التباين : 100*0.028 * ( 1- 0.028 ) = 2.7216 اى انه تختلف عدد حالات
الوفاة بين السيدات المسنات اللاتى حصلن على تطعيم ضد فيروس الانفلوانزا عن متوسط
حالات الوفاة فيما بينهم بمقدار قدره 2.7 سيدة
·
احتمال وفاة سيدتين على الاكثر
= احتمال وفاة صفر من السيدات + احتمال وفاة سيدة واحدة + احتمال وفاة سيدتين =
0.05843+ 0.16832+0.24001 = 0.46676
·
·
·
·
احتمال وفاة سيدتين 0.24001
·
احتمال وفاة اكثر من سيدتين =
1- احتمال وفاة سيدتين على الاقل = 1-0.4667 = 0.5333
§
توزيع بواسون Poisson distribution
o هو احد التوزيعات الاحتمالية المتقطعة ويستخدم عادة مع الاحداث نادرة
الحدوث
·
الصورة الرياضية
o
·
صورة اخرى لقانون توزيع
بواسون ( عند وجود قيمة معينة للمتغير لها احتمال)
o 
·
القيمة المتوقعة للمتغير
العشوائى فى توزيع بواسون = التباين = 
§
مثال على توزيع بواسون
§
اذا كان عدد الافراد الذين
يصابوا بالتلوث فى مستشفى فى فترة يوم يتبعون توزيع بواسون 
اوجد احتمال اصابة 5 افراد أو اكثر فى فترة
يومين اوجد التباين والمتوسط
اوجد احتمال اصابة 5 افراد أو اكثر فى فترة
يومين اوجد التباين والمتوسط
o الحل
·
المعطيات
o ; k = 5 ; t = 2
; k = 5 ; t = 2
·
المطلوب
o p(x5) ;E(x) ; Var(x) ;
5) ;E(x) ; Var(x) ;
·
القانون
o
o E(x)=Var(x) =
·
الحل
§
المتوسط = التباين 1.5*2 = 3
§
احتمال حدوث 5 اصابات =1-
احتمال حدوث 4 اصابات
§ 1-
+
+
+ 
+
= 1- 0.3859=0.6141
++ + += 1- 0.3859=0.6141
§ العلاقة بين ثنائى الحدين وبواسون
فى توزيع ذى الحدين اذا كان عدد المفردات كبير جدا واحتمال النجاح صغير
جدا فانه يمكن تحويله الى توزيع بواسون حيث 
ويتم ذلك لان توزيع بواسون اسهل من توزيع ذى الحدين فى الحسابات
ويتم ذلك لان توزيع بواسون اسهل من توزيع ذى الحدين فى الحسابات
§ التوزيعات الاحتمالية المتصلة
§
مقدمة
§
تختلف التوزيعات الاحتمالية للمتغيرات
العشوائية المتصلة عن التوزيعات الاحتمالية للمتغيرات العشوائية المتقطعة فى ان قيم
مفردات المتغيرات العشوائية المتصلة لانهائى فلا يمكن التعبير بها عند نقطة ولكن
يمكن التعبير بها عند فترة لذلك فان دالة كثافة الاحتمال وكذلك دالة التوزيع
التكرارى تختلف عن نظيرتها فى المتغيرات العشوائية المتقطعة حيث ان دالة كثافة
الاحتمال تكون عبارة عن المساحة اسفل المنحنى بين أى نقطتين ( فترة ) للمتغير
العشوائى وعلى ذلك تكون اجمالى المساحة اسفل هذا المنحنى تساوى الواحد الصحيح اما
دالة التوزيع التكرارى للمتغير العشوائى المتصل عند نقطة معينة تساوى مساحة
المنطقة اسفل منحنى دالة التوزيع الاحتمالى على يسار هذه النقطة اما القيمة
المتوقعة فتساوى متوسط القيم التى يأخذها المتغير العشوائى المتصل ويكون تباين
المتغير العشوائى المتصل يساوى متوسط مربع ابتعاد كل قيمة من قيم المتغير العشوائى
عن القيمة المتوقعة له.
§ التوزيع الطبيعى : هو أهم التوزيعات الاحتمالية المتصلة على الاطلاق ومعظم
المتغيرات العشوائية متصلة تتبع بشكل أو بآخر هذا التوزيع خاصة عند وجود عدد
مفردات كبير ( اكبر من 25 مفردة ) حتى ان
بعض توزيعات المتغيرات العشوائية المتقطعة يمكن ان نستخدم التوزيع الطبيعى بدلا
منها بشروط معينة لكل توزيع.
o الصورة الرياضية : يعرف التوزيع الطبيعى للمتغير العشوائى عن طريق دالة
كثافة الاحتمال الخاصة به والتى يعبر عنها رياضيا بالصورة التالية :
o 
o الشكل العام للتوزيع الطبيعى
o الشكل البيانى للتوزيع الطبيعى
o
 |
الحاجة إلى توزيع قياسى :
o
قد يتساوى متوسط التوزيع الطبيعى للمتغير العشوائى مع اختلاف
تباينه فيكون بهذا الشكل
o
 |
وقد يتساوى تباين التوزيع الطبيعى للمتغير العشوائى مع اختلاف متوسطه فيكون بهذا الشكل
o
 |
لذلك نحتاج إلى توزيع قياسى يصلح فى جميع حالات المتغير العشوائى بتباين ثابت ومتوسط ثابت يسمى التوزيع الطبيعى القياسى متوسطه صفر وتباينه الواحد الصحيح وشكله العام
ويكون 68% من مفردات
المتغير بين 1، -1 كمان ان 95% منها بين 1.96 ، -1.96 واخيرا فان 99% منها بين
2.576 ، -2.576 كما ان التوزيع التكرارى الاحتمالى للتوزيع الطبيعى القياسى حتى
متوسطه ( الصفر ) يحتوى على نصف عدد مفردات المتغير العشوائى وبمعنى اخر فان
المساحة على يسار النقطة صفر ( متوسط التوزيع الطبيعى القياسى ) = 50% من اجمالى
المساحة اسفل منحنى التوزيع الطبيعى القياسى أو ان مجموع الاحتمالات لقيم المتغير
العشوائى فى التوزيع الطبيعى القياسى حتى الصفر = 0.5
o
 |
عند كل قيمة لـ x توجد قيمة جدولية لها f ( فاى ) ويوضح الرسم البيانى التالى المساحات اسفل منحنى التوزيع الطبيعى القياسى
§ مثال: إذا كان عدد خلايا البكتيريا فى مزرعة بكتيريا يتبع توزيع طبيعى
قياسى ما احتمال ان يوجد بالمزرعة بين 1 إلى 1.5 واوجد احتمال x=-1 واوجد عدد الخلايا عند Z0.975 إذا كان وحدة عدد خلايا مزرعة البكتريا هى المليون
§ الحل :
§ 
§
وهذا المثال يقودونا إلى
التحويل بين التوزيع الطبيعى والتوزيع الطبيعى
القياسى حسب العلاقة: 
ومن هنا يمكن حساب
احتمال للمتغير العشوائى بين قيمين من العلاقة : 
والتوزيع الطبيعى
القياسى حسب العلاقة: ومن هنا يمكن حساب
احتمال للمتغير العشوائى بين قيمين من العلاقة :
§
مثال :إذا كان قطر بعض
الاشجار يتبع التوزيع الطبيعى بمتوسط 8 متر وانحراف معيارى قدره 2 متر اوجد احتمال
وجود اشجار قطرها 12 متر
§
الحل : لاحظ ان المعطيات هى :
المتوسط = 8 ، الانحراف المعيارى = 2 اما إذا كان فى المعطيات التباين فاننا يجب
ان نأخذ ذلك فى الاعتبار حيث ان الانحراف المعيارى هو الجذر التربيعى للتباين
§ 
§
ويكون التعليق كما يلى : 2.3
% أو 23 شجرة من كل ألف شجرة سيكون قطرها اكبر من 12 متر
§
العلاقة بين التوزيع الطبيعى
القياسى وتوزيع ذى الحدين
§
من الأشكال البيانية لتوزيع
ذى الحدين نلاحظ ان توزيع ذى الحدين قد يكون ملتو ناحية اليسار إذا كان احتمال
النجاح كبيرا أو اليمين إذا كان احتمال النجاح ضئيلا أو ياخذ شكل التوزيع الطبيعى
إذا كان عدد المفردات كبيرا إلى حد ما مع شرط ان احتمال النجاح ليس متطرفا ( ملتويا
) ناحية اليمين أو اليسار ويستعاض عن ذلك بالشرط npp
5 وفى هذه الحالة
يمكننا من تقدير احتمالات قيم المتغير العشوائى لتوزيع ذى الحدين اسفل منحنى
التوزيع الطبيعى القياسى بين نقطتين معلومتين من قيم المتغير العشوائى لتوزيع ذى
الحدين وحسب الصيغة العامة التالية : 
ومعنى ذلك انه تم تحويل تقدير الاحتمال من تقدير عند نقطة إلى
تقدير لفترة تقل عن النقطة الأولى بمقدار 0.5 وتزيد عن النقطة التالية بمقدار 0.5
وإذا كان المطلوب هو تقدير عند نقطة معينة ( أ ) مثلا وفى هذه الحالة لايوجد مساحة
عند نقطة فبنفس الطريقة يتم حساب النقطة الأولى عند النقطة ( أ – 0.5 ) والثانية
عند النقطة ( أ + 0.5 ) ليتم تقدير الاحتمال لهذه النقطة فى توزيع ذى الحدين
بايجاد المساحة اسفل منحنى التوزيع الطبيعى القياسى عند الفترة ( أ – 0.5 ) : ( أ
+ 0.5 ) وذلك لكل النقاط فيما عدا(x=0 or x=n ) فيتم حساب المساحة اسفل منحنى التوزيع الطبيعى
القياسى عند (to the left of ½ ; to the right of n- ½)
5 وفى هذه الحالة
يمكننا من تقدير احتمالات قيم المتغير العشوائى لتوزيع ذى الحدين اسفل منحنى
التوزيع الطبيعى القياسى بين نقطتين معلومتين من قيم المتغير العشوائى لتوزيع ذى
الحدين وحسب الصيغة العامة التالية : ومعنى ذلك انه تم تحويل تقدير الاحتمال من تقدير عند نقطة إلى
تقدير لفترة تقل عن النقطة الأولى بمقدار 0.5 وتزيد عن النقطة التالية بمقدار 0.5
وإذا كان المطلوب هو تقدير عند نقطة معينة ( أ ) مثلا وفى هذه الحالة لايوجد مساحة
عند نقطة فبنفس الطريقة يتم حساب النقطة الأولى عند النقطة ( أ – 0.5 ) والثانية
عند النقطة ( أ + 0.5 ) ليتم تقدير الاحتمال لهذه النقطة فى توزيع ذى الحدين
بايجاد المساحة اسفل منحنى التوزيع الطبيعى القياسى عند الفترة ( أ – 0.5 ) : ( أ
+ 0.5 ) وذلك لكل النقاط فيما عدا(x=0 or x=n ) فيتم حساب المساحة اسفل منحنى التوزيع الطبيعى
القياسى عند (to the left of ½ ; to the right of n- ½)
§
مثال :احسب احتمال ان يكون الفرد
سليما بين 50 الى 75 فرد من اجمالى 100 فرد إذا كان احتمال ان يكون الفرد مصابا هو
0.6
§
الحل: هذا المثال هو توزيع ذى
الحدين حيث عدد المفردات = 100 وعدد المشاهدات المطلوبة من 50 إلى 75 واحتمال
النجاح هو 0.6 إذا اتممنا الحل بهذا الشكل ستواجهنا مشكلة كبيرة وهى مضروب الارقام
الكبيرة بالنسبة للمائة ( 50 ، 51 ، 52 ، …… ، 75 ) وكذلك اس احتمال النجاح واس
احتمال الفشل لذا يمكن حلها عن طريق التوزيع الطبيعى القياسى حيث تتوفر فيها شروط
تعديلها إلى توزيع طبيعى قياسى (عدد المفردات كبير جدا ، احتمال النجاح غير متطرف
ناحية اليمين أواليساراى ان npp 5)
ويكون الحل كما يلى:
5)
ويكون الحل كما يلى:
§ 
§
ويكون التعليق : 98.3% من
الأفراد سيكون سليما
§
العلاقة بين التوزيع الطبيعى
القياسى وتوزيع بواسون
§
سيتم معاملة توزيع بواسون
بنفس طريقة معاملة توزيع ذى الحدين مع شرط ان 
وفى هذه الحالة
يمكننا تقدير احتمالات قيم المتغير العشوائى لتوزيع بواسون اسفل منحنى التوزيع
الطبيعى القياسى بين نقطتين معلومتين من قيم المتغير العشوائى لتوزيع بواسون وحسب
الصيغة العامة التالية : 
وذلك لكل النقاط فيما
عدا(x=0) فيتم
حساب المساحة اسفل منحنى التوزيع الطبيعى القياسى عند (to
the left of ½)
وفى هذه الحالة
يمكننا تقدير احتمالات قيم المتغير العشوائى لتوزيع بواسون اسفل منحنى التوزيع
الطبيعى القياسى بين نقطتين معلومتين من قيم المتغير العشوائى لتوزيع بواسون وحسب
الصيغة العامة التالية : وذلك لكل النقاط فيما
عدا(x=0) فيتم
حساب المساحة اسفل منحنى التوزيع الطبيعى القياسى عند (to
the left of ½)
§
مثال :احسب احتمال ان نلاحظ
20خلية بكتيرية على الاقل فى مستعمرة بكتيرية تتبع توزيع بواسون بمتوسط قدره 10
حيث مساحة المزرعة 100سم مربع وتوقع قدره 0.1
§
الحل : حيث ان فيمكن حساب ذلك من التوزيع الطبيعى القياسى
بمتوسط قدره 10 وتباين قدره 10 ويكون الحل : 
فيمكن حساب ذلك من التوزيع الطبيعى القياسى
بمتوسط قدره 10 وتباين قدره 10 ويكون الحل :
§
ويكون التعليق : نحن نتوقع
وجود 20 خلية بكتيرية على الاقل فى مزرعة بكتيرية مساحتها 100 سم مربع 1.3 مرة فى كل
1000 مزرعة بكتيرية
§
التقدير
§
يعتمد حساب الاحتمالات على
البيانات الموجودة ومدى مناسبة هذه البيانات لما نردي حسابه وفى الجزء السابق
دائما كان حساب الاحتمالات يعتمد على بيانات سابقة متوفرة وكانت كل المشكلة ان
احدد النموذج الاحتمالى المناسب ( التوزيع المناسب ) للبيانات المتوفرة اما اذا
كانت البيانات المتوفرة لا تسمح بحساب احتمالات معينة ونحتاج لحساب احتمالات فاننا
نحتاج الى استدلال احصائى وهذه الاستدلالات تنقسم الى قسمين التقدير ( وهو يهتم
بقياس معلمات مجتمع ما مثل تقدير المتوسط والتباين عند عدم وجود بيانات سابقة) واختبارات
الفروض ( التى تهتم باختبار هل قيم معلمات مجتمع ما تساوى قيمة معينة ام لا مثل
اختبار الفرض القائل بان معدل انتشار السل فى الريف اعلى من معدل انتشاره فى المدن
) وقد يكون التقدير أو اختبار الفروض تقديرا لنقطة واختبارا لها أو تقديرا لفترة
واختبارا لها
§
العلاقة بين حجم المجتمع
والعينة
o
العينة
العشوائية : هى العينة التى يكون لكل فرد من افراد المجتمع المراد اخذ العينة منه
نفس فرصة الظهور فى العينة
o
مجتمع الدراسة :
هى المجموعة التى نرغب فى دراستها ويتم اختيار العينة العشوائية منها
§
الارقام
العشوائية :هو المتغير x
الذى يأخذ القيم 0 ، 1 ، 2 ، ...... 9
باحتمال متساو لكل منها اى ان :
Pr(x=0) = Pr(x=1) =……Pr(x=9) = 1/10
§
جدول الارقام
العشوائية : هو مجموعة من الارقام التى يجب ان يتوفر شرطين هما :
o كل رقم من 0 الى 9 له نفس احتمال الظهور
o قيمة كل رقم معين لاتعتمد على قيمة اى رقم اخر فى الجدول
§
تقدير متوسط المجتمع لتوزيع
ما :
o التقدير عند نقطة : مجموع المشاهدات مقسوما على عددها والصيغة الرياضية له
هى : 
والسؤال الان كيف يمكن
تقدير متوسط العينة
بحيث يكون تقديرا
مناسبا لمتوسط المجتمع 
؟ والاجابة ببساطة فى اختيار اكبر عدد ممكن من العينات
العشوائية وتقدير متوسط لكل منها ومتوسط متوسطات هذه العينات
سيكون متوسط المجتمع وذلك حسب الصيغة
الرياضية التالية : 
ويعبر عن ذلك بأن
التقدير الاولى 
لمتوسط المجتمع هو
متوسط القيم لعدد كبير من العينات 
اى 
والسؤال الان كيف يمكن
تقدير متوسط العينة بحيث يكون تقديرا
مناسبا لمتوسط المجتمع ؟ والاجابة ببساطة فى اختيار اكبر عدد ممكن من العينات
العشوائية وتقدير متوسط لكل منها ومتوسط متوسطات هذه العينات سيكون متوسط المجتمع وذلك حسب الصيغة
الرياضية التالية : ويعبر عن ذلك بأن
التقدير الاولى لمتوسط المجتمع هو
متوسط القيم لعدد كبير من العينات اى
o الانحراف المعيارى للمتوسط (
متوسط العينة ) Standard erorr of the mean sem: لمعرفة لماذا نحسب الانحراف
المعيارى لمتوسط العينة يجب ان نسال انفسنا سؤالا وهو لماذا نفضل المتوسط المقدر
من عينات كبيرة الحجم عن مثيله المقدر من عينات اصغر؟ ذلك لانه اكثر دقة من الاخر
لان تباين متوسط العينات الكبيرة اقل من تباينه للعينات الصغيرة ويمكن حسابه بالصورة التالية :
o الانحراف المعيارى لتوزيع طبيعى
قياسى على ذلك = 
حيث ان التوزيع الطبيعى القياسى للمتغيرات
العشوائية تباينه = 1 ومن هنا يمكن اثبات ان متوسط العينات الاكبر حجما والتى تتبع
توزيع طبيعى قياسى يكون اكثر دقة فاذا كان حجم العينة 100 فان الانحراف المعيارى
لمتوسطها ( الخطأ القياسى ) = 
اما فى عينة حجمها 10000 مفردة فانه = 
وذلك يعنى ان المتوسط
المقدر من العينة التى حجمها 100 يعبر عن متوسط المجتمع بدقة تصل الى 90 % بينما
فى العينة التى حجمها 10000 فانه يعبر عن متوسط المجتمع بدرجة دقة تصل الى 99 %
حيث ان التوزيع الطبيعى القياسى للمتغيرات
العشوائية تباينه = 1 ومن هنا يمكن اثبات ان متوسط العينات الاكبر حجما والتى تتبع
توزيع طبيعى قياسى يكون اكثر دقة فاذا كان حجم العينة 100 فان الانحراف المعيارى
لمتوسطها ( الخطأ القياسى ) = اما فى عينة حجمها 10000 مفردة فانه = وذلك يعنى ان المتوسط
المقدر من العينة التى حجمها 100 يعبر عن متوسط المجتمع بدقة تصل الى 90 % بينما
فى العينة التى حجمها 10000 فانه يعبر عن متوسط المجتمع بدرجة دقة تصل الى 99 %
o نظرية الحد المركزية : هى نتيجة لما سبق وتعنى انه فى العينات الكبيرة
الحجم لمجتمع متوسطه ، تباينه 
فانها تتبع توزيع طبيعى متوسطه ، تباينه 
حتى لو وجد بعض
المشاهدات الفردية فيه لاتتبع التوزيع الطبيعى والصيغة العامة لها هى : 
، تباينه فانها تتبع توزيع طبيعى متوسطه ، تباينه حتى لو وجد بعض
المشاهدات الفردية فيه لاتتبع التوزيع الطبيعى والصيغة العامة لها هى :
o التقدير لفترة : اذا كان متوسط المجتمع وكذلك تباينه معلومين بدقة فان
التقدير السابق مناسب جدا لتقدير متوسط المجتمع الجديد وتباينه المقدرين من العينة
اما اذا كانت هذه المعلمات غير محددة بدقة مثلا اذا كان 95% من مفردات المجتمع
يكون متوسطها اى بين الفترة 
وتعرف بفترة الثقة 95% confidence interval ci وهى احتمال ان يكون متوسط المجتمع بين الفترتين
بدرجة ثقة 95% ويكون
التعليق : نتائج العينة تشير الى ان متوسط المجتمع يكون بتباين قدره ويختلف هذا المتوسط من عينة
الى اخرى لكنه بدرجة ثقة 95% فانه بين 
كما يمكن تعميم هذه
الصيغة على فترات ثقة مختلفة اى 99 % مثلا أو 90 % لتكون بالصورة الرياضية التالية
: 
وعلى ذلك يمكن حساب طول
فترة الثقة وهى = 
والنظر نعرف انه يؤثر
فيها 3 متغيرات 1- عدد مفردات العينة فكلما زادت مفردات العينة قلت درجة الثقة 2- الانحراف
المعيارى فكلما زاد الانحراف المعيارى للمشاهدات كلما زادت فترة الثقة 3- فترة
الثقة المرغوبة فهى تزيد أو تقل حسب الرغبة
اى بين الفترة وتعرف بفترة الثقة 95% confidence interval ci وهى احتمال ان يكون متوسط المجتمع بين الفترتين بدرجة ثقة 95% ويكون
التعليق : نتائج العينة تشير الى ان متوسط المجتمع يكون بتباين قدره ويختلف هذا المتوسط من عينة
الى اخرى لكنه بدرجة ثقة 95% فانه بين كما يمكن تعميم هذه
الصيغة على فترات ثقة مختلفة اى 99 % مثلا أو 90 % لتكون بالصورة الرياضية التالية
: وعلى ذلك يمكن حساب طول
فترة الثقة وهى = والنظر نعرف انه يؤثر
فيها 3 متغيرات 1- عدد مفردات العينة فكلما زادت مفردات العينة قلت درجة الثقة 2- الانحراف
المعيارى فكلما زاد الانحراف المعيارى للمشاهدات كلما زادت فترة الثقة 3- فترة
الثقة المرغوبة فهى تزيد أو تقل حسب الرغبة
o توزيع تى T distribution : فى الجزء السابق استخدمنا فترة الثقة لتقدير متوسط المجتمع اذا كان
هذا المتوسط غير معلوم بدقة اما اذا كان الانحراف المعيارى للمجتمع غير معلوم بدقة
فاننا نستخدم هذا التوزيع لتقدير متوسط المجتمع من العينة وهو توزيع متماثل حول
نقطة الصفر.
o لماذا نلجأ الى استخدام هذا التوزيع ؟
§ لاننا نعلم انه 
لكن اذا كانت 
غير معلومة فاننا من
العينة يمكن حساب :
لكن تظل مشكلة ان هذه
القيمة ليست موزعة توزيعا طبيعيا قياسيا وتوزيع
t حل
المشكلة حيث عدل هذه القيمة الى قيمتين تقديريتين هما: 
فما هى 
؟ هى القيمة الجدولية لتوزيع t والتى تعتمد
على عدد مفردات العينة والتى تسمى بدرجة الحرية Degree of
freedom ورمزها n-1= d اى انه عبارة عن مجموعة
من التوزيعات التى تعتمد على عدد المفردات لتشكل فى النهاية توزيع t ويعبر عن t الجدولية رياضيا بالشكل 
وعلى ذلك فان 
تعنى ان اعلى 5% (درجة
ثقة) من قيم t
الجدولية بدرجة حرية 20 (n = 21)
لذلك يمتاز توزيع t
بأنه اكثر دقة من التوزيع الطبيعى القياسى ويكاد يقرب منه كلما زادت عدد المفردات
( على الاقل 60 ) وبهذا يمكن تقدير تباين المجتمع من تباين العينة حسب الصيغة العامة
ويكون التعليق : بفرض
ان تباين المجتمع غير محدد فانه بدرجة ثقة .... % ودرجة حرية ..... ( عدد مفردات
العينة – 1 ) يقع متوسط المجتمع بين .... ، ....
لكن اذا كانت غير معلومة فاننا من
العينة يمكن حساب : لكن تظل مشكلة ان هذه
القيمة ليست موزعة توزيعا طبيعيا قياسيا وتوزيع
t حل
المشكلة حيث عدل هذه القيمة الى قيمتين تقديريتين هما: فما هى ؟ هى القيمة الجدولية لتوزيع t والتى تعتمد
على عدد مفردات العينة والتى تسمى بدرجة الحرية Degree of
freedom ورمزها n-1= d اى انه عبارة عن مجموعة
من التوزيعات التى تعتمد على عدد المفردات لتشكل فى النهاية توزيع t ويعبر عن t الجدولية رياضيا بالشكل وعلى ذلك فان تعنى ان اعلى 5% (درجة
ثقة) من قيم t
الجدولية بدرجة حرية 20 (n = 21)
لذلك يمتاز توزيع t
بأنه اكثر دقة من التوزيع الطبيعى القياسى ويكاد يقرب منه كلما زادت عدد المفردات
( على الاقل 60 ) وبهذا يمكن تقدير تباين المجتمع من تباين العينة حسب الصيغة العامة
ويكون التعليق : بفرض
ان تباين المجتمع غير محدد فانه بدرجة ثقة .... % ودرجة حرية ..... ( عدد مفردات
العينة – 1 ) يقع متوسط المجتمع بين .... ، ....
§
تقدير تباين المجتمع لتوزيع
ما :
o التقدير عند نقطة : التقدير الاولى لتباين المجتمع هو
متوسط تباين القيم s2 لعدد كبير من
العينات اى 
حيث 
مع الاخذ فى الاعتبار
ان القيمة السابقة ليست متوسط بمعنى الكلمة حيث ان المقام هو عدد المفردات – 1
والمتوسط يكون بالقسمة على عدد المفردات وبالرغم من صحة ذلك الا ان هذه القيمة اقل
تحيزا واذا كان لها اثر فى العينات صغيرة الحجم لكن فى العينات كبيرة الحجم يمكن
اهمالها
لتباين المجتمع هو
متوسط تباين القيم s2 لعدد كبير من
العينات اى حيث مع الاخذ فى الاعتبار
ان القيمة السابقة ليست متوسط بمعنى الكلمة حيث ان المقام هو عدد المفردات – 1
والمتوسط يكون بالقسمة على عدد المفردات وبالرغم من صحة ذلك الا ان هذه القيمة اقل
تحيزا واذا كان لها اثر فى العينات صغيرة الحجم لكن فى العينات كبيرة الحجم يمكن
اهمالها
o التقدير باستخدام توزيع مربع كاى Chi square
Distribution هو توزيع موجب وغالبا ملتوى ناحية اليمين الا
اذا زاد ععد المفردات عن 100 مفردة فانه يقترب من التماثل وله درجة ثقة ودرجة حرية
مثل توزيع t
والصيغة العامة له هى 
وفترتيه هما: 
مع ملاحظة ان تباين المجتمع ليس متماثلا حول تباين العينة كما
فى متوسط المجتمع المتماثل حول متوسط العينة.
وفترتيه هما: مع ملاحظة ان تباين المجتمع ليس متماثلا حول تباين العينة كما
فى متوسط المجتمع المتماثل حول متوسط العينة.
o التقدير باستخدام توزيع ذى الحدين :( المحاولة البرنولية Bernoulli trial ) وهى تقدر تباين المجتمع من احتمال ظهور الحدث
بالمجتمع =pq حيث عدد المحاولات = 1 اما اذا
كان عدد المحاولات = n فان التباين فى توزيع ذى الحدين Var(x)= npq اما المتوسط E(x) = np اما اذا اردنا ان نحسب تباين المجتمع والانحراف
المعيارى لمجموعة من العينات فان سيكون بالشكل العام التالى : 
اما اذا اردنا ان نقدر
تباين المجتمع والانحراف المعيارى لمجموعة من العينات فان سيكون بالشكل العام
التالى : 
كما يمكن تحويل هذا
التقدير الى توزيع طبيعى اذا كان 
فان 
واذا كان 
فان 
والان يمكن ان نقدر هذا
التباين بفترة ثقة محددة 
اما اذا اردنا ان نقدر
تباين المجتمع والانحراف المعيارى لمجموعة من العينات فان سيكون بالشكل العام
التالى : كما يمكن تحويل هذا
التقدير الى توزيع طبيعى اذا كان فان واذا كان فان والان يمكن ان نقدر هذا
التباين بفترة ثقة محددة
§
اختبارات الفروض Hypothesis Testing
هى احد الادوات الاحصائية التى تقدم اطار محدد ( قبول أو رفض ) لاتخاذ
قرار بشأن موضوع ما عن طريق وضع فرضين هما :
o الفرض العدمى ( الصفرى ) Null Hypothesisهو الفرض الذى
نقوم باختباره ويرمز له بالرمز 
o الفرض البديل Alternative Hypothesisهو الفرض الذى يناقض الفرض العدمى
ويرمز له بالرمز 
وبعد ذلك يمكن قبول أو رفض احدهما والعلاقة بين حقيقة الفرض العدمى أو
البديل وقرار القبول أو الرفض يمكن صياغتها فى الاربعة نقاط التالية:
o اذا كان الفرض العدمى صحيح وتم رفضه ( يحدث خطأ من النوع الاول وهو اشهر
خطأ احصائى ) ويعبر عنه رياضيا 
o اذا كان الفرض العدمى غير صحيح وتم رفضه (دل ذلك على درجة الثقة فى
الاختبار ) ويعبر عنه رياضيا 
o اذا كان الفرض العدمى غير صحيح وتم قبوله ( يحدث خطأ من النوع الثانى )
ويعبر عنه رياضيا 
o اذا كان الفرض العدمى صحيح وتم قبوله ( دل ذلك على قوة الاختبار ) ويعبر
عنه رياضيا 
