مقدمة

موضوع الأساليب الكمية في الإدارة: هو موضوع واسع وبسيط يتضمن الإحصاء بأنواعه المختلفة ويتضمن الرياضيات والتطبيقات لبعض النماذج الرياضية والإحصائية، وأما فيما يتعلق بطلبة الإدارة والمشكلات الإدارية التي يواجهها متخذي القرار والعاملين في مجال الإدارة فممكن أن يستخدم العديد من هذه النماذج الكمية، وعندما نقول نماذج كمية فهي أوسع من النماذج الرياضية على اعتبار أن النماذج الرياضية هي جزء من النماذج الكمية، وبالتالي كلمة النماذج الكمية تتضمن النماذج الإحصائية والرياضية وتطبيقاتها، وممكن أيضاً أن تستخدم النماذج الغير كمية.

فعندما تواجهنا ظاهرة تمتاز بالغموض ونريد معالجتها نلجأ لاستخدام النماذج، والنماذج قد تتضمن نماذج كمية وقد تتضمن نماذج غير كمية (أي كيفية) كرأي الخبراء أو المدراء، فالنماذج غير الكمية تخضع لحكم الأشخاص الذين يتعاملون مع الموضوع فمقدار التحيز يكون واضحاً لحد ما، بينما في النماذج الكمية نلجأ إلى الاعتماد على الأرقام وهي أقرب إلى الحقيقة منها إلى الحكم الشخصي، ومقدار التدخل أو التحيز من قبل القائم على عملية التحليل يكون محدوداً، وعندما نواجه ظاهرة أو مشكلة فهذا لا يمنع أن نلجأ إلى الأسلوبين معاً، ولكن ما يميز النماذج الكمية أن درجة صدقيتها عالية وبالتالي مقدار الاعتماد عليها يكون أكثر.

والأساليب الكمية قد تسمى (بحوث عمليات) وهي جزء منها وتتضمن بعض الموضوعات الخاصة في الإدارة.

تعريف الأساليب الكمية:

هي أساليب كمية تستخدم من أجل إلقاء المزيد من الضوء والفهم الأكثر لظاهرة معينة أو مشكلة معينة تواجه المدراء والإداريين من أجل مساعدتهم في اتخاذ القرار بناء على نتائج تحليل النماذج الرياضية وغير الرياضية التي تتضمنها الأساليب الكمية.

أهمية الإدارة والمدارس العلمية: هي الاتجاه أو المنظور العقلاني للإدارة أو النظر للإدارة كعلم، وهذا يتماشى مع الأساليب الكميه في الإدارة.

نظرية اتخاذ القرارات الإدارية:

أسباب انتشار استخدام الأساليب الكمية في النشاطات اليومية خلال العقود الماضية:

1/ زيادة الإنتاج العالمي الناتج عن الثورة الصناعية: لا يزال الكتاب مختلفين إلى حد ما بتعريف الإدارة هل هي علم أم فن، والصحيح أن الإدارة هي خليط من العلم والفن، وهذا ما يميز الإدارة عن بقية العلوم إن جاز أن نسميها علوم لأن الإدارة جزء كبير منها علمي وجزء منها يعتمد على الشخص الإداري الناجح، وهذا يفسر تعدد المدارس الإدارية والنظريات الإدارية، وقد تطور الفكر الإداري فكانت مرحلة الحرف اليدوية سائدة، وعندما جاءت الثورة الصناعية وما يسمى بالخط التجميعي برز عندنا علم الإدارة (آدم سميث, وفردرك تايلور, وفايل)، وفردرك تايلور وفايل هم مهندسين أوجدوا علم إدارة الأعمال والمهندسين يتعاملوا بالأرقام والهندسة (1+1=2) وبالتالي الفكر الإداري آنذاك يسمى الاتجاه العقلاني أي المنظور العقلاني وتم نسيان أهم شي في عنصر الإدارة وهو العنصر البشري وتعاملوا مع الإنسان كآلة، ورغم التقدم الذي أحرزوه في هذا المجال لم يستطيعوا أن يحلو جميع المشاكل الإدارية وبالتالي جاءوا بالاتجاه الطبيعي، والطبيعيين لم يرفضوا ما جاء به العقلانيين وإنما أضافوا إليه ما كان ناقصاً وبالتالي قالوا إن المنظمات هي عبارة عن تجمعات وتحالفات تتكون من بشر وهؤلاء البشر لهم مشاعر وأحاسيس وليسوا آلة، ويجب التعامل معهم بنظرية الحفز والحفز المعنوي، والعقلانيين بالغوا (منظمات بدون ناس)، والطبيعيين بالغوا (التركيز على الناس ونسوا المنظمة)، ثم بعد ذلك جاءت نظرية النظم وأن الكون الذي خلقه الله سبحانه وتعالى يتكون من نظام كبير وهذا النظام يتكون من نظم فرعية وكل نظام يتكون من مدخلات وعمليات ومخرجات وتغذية راجعة وبيئة داخلية وخارجية وتفاعل مستمر بين مكونات النظام، وحسب نظرية النظم فالمنظمة تتكون من نظام ومجموعة أنظمة، وبالتالي هي نظام مفتوح وهذه الأنظمة تتوزع بشكل (x-y-z) وقد تكون مخرجات أحد الأنظمة مدخلات لنظام أخر.

وبقي الجدل قائماً بين المدارس هل المنظمات يجب أن نتعامل معها حسب المدرسة العلمية (الإدارة)، أو الكلاسيكية أو الاتجاه العقلاني والاتجاه الطبيعي حركة العلاقات الإنسانية وتجارب هاوثورن ...الخ، وقالوا إن الثلاث أنظمة موجودة في أي منظمة حسب المستوى الإداري، فالمستوى التشغيلي في المنظمات يمثل الاتجاه العقلاني، والإدارة الوسطى تمثل الاتجاه الطبيعي كإدارة القوى البشرية، والإدارة العليا مجلس الإدارة عبارة عن نظام مفتوح.

وهناك من يقول إن المنظمة بنت بيئتها أي يجب أن تكون مقبولة ومنسجمة ومتناغمة وعندها قدرة على التكيف مع التغيرات التي تحدث في البيئة الخارجية, وحسب نظرية النظم هناك حقيقة ثابتة في الحياة وهي (التغير) وبالتالي التغير يتطلب التكيف، وبالتالي النظام المفتوح ورئاسة مجلس الإدارة يعمل تجسير مع البيئة وفتح قنوات اتصال ويساعد المنظمة على تحقيق الأهداف الرئيسية التي تتمثل في البقاء النمو وتحقيق المنافع، ولكن جزء كبير من الإدارة يبقى علمي ويخضع للقوانين العلمية والتحليل العلمي (كمي) من أجل مواجهة الطلب المتزايد على المنتجات.

2/ التقدم التكنولوجي في جميع الميادين: قديما مسألة السمبلكس لو كان عندك عدد من المتغيرات ممكن تأخذ من الإنسان المختص في التحليل حسب طريقة البرمجة الخطية للسمبلكس أيام وساعات طويلة وممكن أن يكون هناك أخطاء، والآن بمجرد نقر البرنامج الموجود على السوفت وير، فشيوع وتقدم الحاسبات مكن الاعتماد على استخدام الأساليب الكمية.

3/ الطلب المتزايد على السلع والخدمات نتيجة لتزايد أعداد السكان من جهة أو زيادة دخول الأفراد وارتفاع مستوى المعيشة: كلما زاد دخل الفرد أو الأسر كلما زادت الرفاهية الاجتماعية، وكلما زاد التقدم العلمي يصبح بحاجة إلى مزيد من المنتجات والخدمات، وبالتالي يصبح هنالك ضغط على المصادر الطبيعية المتاحة والتي تمتاز بالندرة، ومن هنا أتى علم الاقتصاد وهذا أدى إلى زيادة الاعتماد على الأساليب الكمية.

4/ ندرة الموارد والاستغلال الجائر لها بمعدل متزايد مثل الطاقة: علم الاقتصاد يعالج موضوع ندرة الموارد، وبدأ العالم يفكر بالطاقة البديلة أو الطاقة النظيفة لأنهم جربوا الطاقة النووية والمخاطر إلى ممكن تأتي عن طريقها والمفاعلات النووية مثل تشرنوبيل وغيرها، فبدأ التفكير في الطاقة البديلة وحماية البيئة وتشكلت كثير من الأيدلوجيات والأحزاب كجماعة الخضر وجماعة المحافظة على البيئة.

5/ ارتفاع الطلب على المزيد من المعيارية والمواصفات المتعارف عليها من السلع والخدمات: وهذا بحاجة للمزيد من العلمية والموضوعية والدقة في التعامل مع النشاطات المختلفة الإنتاجية والتسويقية والمالية والخدمية وغيرها.

6/ التوجه نحو العولمة والخصخصة واقتصاديات السوق والتكتلات الاقتصادية: المنافسة أصبحت بين الشبكات ووجود  الشركات العابرة للقارات العاملة بجميع أنحاء العالم بفضل التكنولوجيا، وأصبح الاشتراك في الإنتاج والتخطيط على مستوى عالمي للاستفادة من مزايا كل منطقة والوصول إلى ربح ومنافسة أكبر وتوزيع مكاسب التنمية على العالم، وتطورات الزمن والأوضاع الاقتصادية وحرص القائمين على الإدارة على الاستفادة من مميزات الحجم الاقتصادي كل هذا أدى إلى ضرورة استخدام الأساليب الكمية وبحوث العمليات من أجل الاستغلال الأمثل لهذه الموارد، والحاجة إلى استخدام الأساليب الكمية سوف يتزايد وربما يصبح هو الفيصل الذي يتحكم في مسيرة التقدم والنجاح الإداري في العقود القادمة لأن كل المؤشرات تدل على ذلك، فانضمامنا لمنظمة التجارة العالمية والخصخصة (دع السوق يعمل بدون تدخل حكومي) وضعف وتراجع دور القطاع العام لصالح القطاع الخاص كل ذلك أسباب ستؤدي إلى زيادة الاعتماد على الأساليب الكمية في العقود القادمة.

ومن أهم أساليب اتخاذ القرارات استخدام ما يسمى المنهجية العلمية وخطوات البحث العلمي والتي وردت في القران الكريم قبل ما يزيد عن (1400) عام (إِنَّ السَّمْعَ وَالْبَصَرَ وَالْفُؤَادَ كُلُّ أُوْلَئِكَ كَانَ عَنْهُ مَسْئُولًا) وهذه تمثل ترتيب خطوات البحث العلمي.

عملية اتخاذ القرار:

تعتبر عملية اتخاذ القرار جوهر العملية الإدارية بشكل عام حيث يصب المدراء جل اهتمامهم عليها، ومع ذلك فإن هذه العملية ونتائج القرار المصاحب لها قد لا تتم كما هو مخطط، ويقصد بعملية اتخاذ القرار "مجموعة الخطوات التي يقوم بها متخذ القرار في الوصول إلى قراره".

الخطوات الأساسية للوصول إلى القرار:

1 - تحديد وتعريف المشكلة التي تستلزم اتخاذ القرار وأعراضها.

2-  تحديد الهدف ومعيار القبول للحل السليم.

3-  جمع البيانات وتطوير البدائل.

4-  تحليل ومقارنة البدائل.

5- تقديم البدائل حسب المعايير باستخدام النماذج (الكيفية والكمية) واختيار البدائل الأفضل.

6-  تنفيذ البدائل الأفضل (تنفيذ القرار).

7-  مراقبة التنفيذ وتعديله إن لزم.

والقرارات تتفاوت في أهميتها ودرجة تعقيدها والموضوع الذي تعالجه، فهناك قرارات روتينية نعملها بدون الحاجة إلى جهد أو تفكير كبير، والقرارات الأهم تحتاج إلى إعطاء أهمية، وبغض النظر عن طبيعة القرار يجب عمليا أن نمارس في ذهننا هذه الخطوات على جميع القرارات، ولكن تبرز أهمية هذه الخطوات وتتبعها بشكل منتظم عند تناول قرارات خطيرة أو مصيرية أو قرارات يترتب على نتائجها أشياء حاسمة.

1/ تحديد وتعريف المشكلة التي تستلزم اتخاذ القرار وأعراضها: نقول مشكلة لأنه وضع غامض ونريد أن نتخذ قراراً لحله، وكلمة تحديد تختلف عن كلمة تعريف وبالتالي الخطوة الأولى في اتخاذ القرار يجب أن نحدد ونعرف المشكلة، تحديد المشكلة أي الحدود الظاهرة التي تستلزم اتخاذ قرار من أجل أن ينصب الاهتمام والخطوات القادمة على منطقة المشكلة أو على حدودها ولا تتعداها، وسوف تساعد في عملية تشخيص المشكلة أي معرفة الأسباب الحقيقة وراء المشكلة وليس أعراضها أو نواتجها، وتعريف المشكلة أي طبيعة المشكلة وإلى أي درجه نريد أن نتعمق في تعريفها والإلمام بجميع جوانبها، ونحاول إن نقسم المشكلة إلى عناصرها الأساسية بحيث يسهل علينا تناول أي قسم أو عنصر على حده من أجل المساعدة في فهم المشكلة الفهم الدقيق والوصول إلى الأسباب الحقيقة لها، لأن كل الخطوات القادمة ستبنى على نتيجة الخطوة الأولى، ثم بعد ذلك ننظر لجميع جوانبها وهذا يسمونه في الكتب الانجليزية إيجاد المدخل الذي سنتناول به المشكلة عندما نجزئها إلى عناصرها.

وعلى سبيل المثال لو أخذنا عملية دوران العمل هي مشكلة وظاهرة، فيجب أن نفسر ونحلل كإداريين سبب دوران العمل (والمقصود بدوران العمل نسبة الموظفين والعمالة الذين يتركون العمل ويحل محلهم موظفين جدد) فهذه العملية مكلفة على المنظمة فهي تواجه مشكلة، فما هو السبب الحقيقي لترك العمال؟ ربما يذهب اتجاه الإداريين لسبب قلة الرواتب مقارنة مع المنافسين ويعتبرون أن هذا هو السبب الحقيقي ويعالجون الموضوع على هذا الأساس، ولكن في الحقيقة ربما يكون الجو العام في العمل لا يساعد على رفع الروح المعنوية للعاملين، وربما لا يكون هناك تقدم وظيفي، وربما لا يكون هناك تدريب مستمر...، ففي عملية اتخاذ القرار يجب أن نحدد ونعرف المشكلة بشكل دقيق لأنه ما بني على خطأ سوف تكون النتيجة خاطئة، وإذا عرف بعد فترة بسيطة أنه حدد وعرف المشكلة بشكل خاطئ ربما يكون هناك فرصة لتصحيح الوضع ومعالجة القرار والوصول إلى إعادة تحديد وتعريف المشكلة والوصول إلى نتيجة مرضية.

2/ تحديد الهدف ومعيار القبول للحل السليم لمعالجة المشكلة: مثلاً زيادة الأرباح أو تقليل التكاليف أو تقليل الزمن اللازم للإنتاج ..

3/ جمع البيانات عن المشكلة: يساعد في تطوير بدائل حل المشكلة، ويجب إيجاد عدد أكبر من البدائل ثم نعمل بعد ذلك على تقييم هذه البدائل واستبعاد البدائل التي نرى أنها بعيدة عن المشكلة وفي النهاية الوصول إلى بدائل محدودة وتكملة باقي الخطوات.

الفرق بين البيانات والمعلومات:

البيانات: هي بيانات خامة أولية لا يمكن الاستفادة منها إلا بعد معالجتها، وبعد معالجة البيانات وإخضاعها إلى نوع من العمليات تتحول البيانات إلى معلومات.

المعلومات: يمكن الاستفادة منها، وحتى المعلومات يمكن الاستفادة منها وتخزينها ويمكن معالجتها، (المعلومات+معالجة=المعرفة) والمعرفة يمكن تخزينها في نظم اتخاذ القرار.

4/ تحليل ومقارنة البدائل: نحلل كل بديل ونقارن نتيجة هذه البدائل ثم نعمل على تقييم البديل حسب المعايير باستخدام  النماذج، النماذج نوعين (كمية وكيفية).

- النماذج الكمية: تتعرض للأرقام مثل النماذج الرياضية والإحصائية وتطبيقاتها.

- النماذج الكيفية: مثل نظام الخبراء، وهيئة المدراء (تعتمد على التحيز).

وبناء على نتيجة التقييم باستخدام النموذج الرياضي (البرمجة الخطية، مشكلة النقل، شبكات الأعمال، الانحدار البسيط، الانحدار المتعدد) فهذه كلها نماذج رياضية وإحصائية يمكن استخدامها في اتخاذ القرار أو مصفوفة القرار، وبناء على النتيجة نختار البديل الأفضل.

5/ تقييم البدائل حسب المعايير: باستخدام النماذج الرياضية والكيفية، ويمكن استخدام أكثر من نموذج لتقييم البدائل وهذا أفضل إلا إذا كانت العملية مكلفة وبالتالي يمكن استخدام الخطوة السادسة.

6/ تمثيل الأفضل (تنفيذ القرار): يجب تنفيذه بطريقة صحيحة، فلو كانت كل الخطوات السابقة صحيحة وعملية تنفيذ القرار شابها بعض الأخطاء ربما تؤدي إلى نتيجة خاطئة، والخطورة ليست فقط توصلنا لنتيجة خاطئة وبالتالي لم نحقق الهدف، بل الخطورة ردة الفعل من خلال المراقبة، فسوف نعتقد كمتخذي قرار بأننا توصلنا إلى نتيجة خاطئة  وأننا لم نحدد ونعرف المشكلة بشكل سليم، والحقيقة أن السبب الحقيقي حدث في آخر المرحلة في عملية تنفيذ القرار.

7/ مراقبة التنفيذ وتعديله إن لزم الأمر:  

أسباب اتخاذ القرارات الخاطئة:

1/ الغموض في الظروف المحيطة بالقرار: نتيجة اتخاذ القرار تحدث في المستقبل بعد مرور زمن معين (أسبوع، شهر، سنة..) وكلما زادت المدة الزمنية كلما كان هناك احتمال أن يكون هناك انحراف بين المخطط والهدف الذي وضعناه  والنتيجة التي سنصل إليها بسبب التغيرات المستقبلية التي تحدث في البيئة المحيطة سواء بيئة كلية أو بيئة جزئية.

2/ قلة المعلومات والبيانات عن المشكلة: تصادفنا ظواهر ومشاكل لأول مرة وتمتاز بدرجة عالية من التعقيد قد لا تتوفر لمتخذ القرار بيانات ومعلومات تساعد في تحديد وتعريف المشكلة.

3/ إهمال أو تجاوز أحد خطوات اتخاذ القرار: بسبب الأسلوب الشخصي للمدير أو للسرعة المطلوبة في اتخاذ القرار أو كبرياء المدير، فأنت تريد تعظيم منفعتك ومنفعة المؤسسة التي تريد أن تنتفع بها، والأمانة تقتضي إن تعمل بجد وإخلاص وبالتالي إذا كنت تسير في الخطأ فالفضيلة تقول الاعتراف في الخطأ توقف الخسارة والخطأ مكسب وبالتالي إعادة تصحيح الوضع.

4/ عدم اعتراف المدراء بأخطائهم: وذلك لأسباب قد تتعلق بعادات وتقاليد الجماعة وبيئة العمل وثقافة المجتمع.

5/ الفلسفة التي يتبناها متخذ القرار: فهناك من يتبع المدرسة العقلانية الكمية وآخر يتبع المدرسة السلوكية الإنسانية، ومتخذ القرار ليس المدير فقط، وإنما أي موظف إداري ممكن أن يتخذ قراراً.

صفات قرارات العمليات:

تعريف العمليات: هي مجموعة النشاطات التشغيلية التي تنفذها المؤسسة في عملها اليومي سواء كان ذلك في موضوع الإنتاج أو الخدمات أو الإدارة الداخلية للمؤسسة، ومن صفات هذا النوع من القرارات أنها تستخدم النماذج والطرق الكمية والتحليلات المبادلة وتحليل الحساسية ومدخل النظم:

أ/ استخدام النماذج: النموذج هو تجريد للحقيقة، وهو صيغة مبسطة غير كاملة عن الحقيقة ويمثل جزئية يكون الهدف منها تسهيل الاستيعاب للمشكلة الحقيقية، وهو عدة أنواع:

·        النماذج الحسية: وتكون عادة ثلاثية الأبعاد مثل السيارة اللعبة نماذج العمارات، أي تكون (×) أو (س , ص) أو (Z)أو (ع) بثلاثة أبعاد مجسم، مثل السيارة اللعبة أو نماذج العمارات وهي شيء مصغر للشيء الحقيقي.

·        النماذج الرسومية: ثنائية الأبعاد رسومات أو خرائط أو صور بسيطة قليلة التكاليف ويسهل إنتاجها وتتمتع بدرجة عالية من الوضوح، بواسطة الرسم وثنائية الأبعاد يعني فقط (س وَ ص) مثل الرسم على ورقة.

·        نماذج رياضية: عالية التجريد، يحتاج المرء إلى مهارات عالية في استيعاب التجريد، كالمعادلات الرياضية ونموذج منحنى التوزيع الطبيعي، وليس كل شخص يستطيع استخدام النماذج الرياضية أو الإحصائية خصوصا المعقدة فهي بحاجة لشخص خبير ومتخصص في هذا الموضوع، مثل البرنامج الإحصائي sbs.

ب/ المداخل الكمية لحل المسائل: وهي محاولة للحصول على حل رياضي أمثل للمسائل الإدارية، مثل البرمجة الخطية، مشاكل النقل، نظرية خطوط الانتظار، ونموذج المخازن، والنماذج الإحصائية.

ج/ تحليل المبادلة Trade-off Analysis: على مستوى الحياة، العقلانية تقتضي أنه يجب أن تعظم منفعتك، وبالتالي حينما نريد أن نتخذ قراراً بعض النظر عن اتخاذ هذا القرار نجري عملية مفاضلة مقاربة مابين التكاليف التي سوف نتكبدها أو نتحملها في حالة اتخاذ هذا القرار و مقدار المنافع المتوقعة، والعقلانية تقتضي أن لم نكن مضطرين فنقارن بين التكاليف التي سنتحملها والمنافع، وإذا وجدنا المنافع أكثر من التكاليف نتوكل على الله ونتخذ القرار أما في حال التكاليف أكثر من المنافع فلا يجب اتخاذ قرار، ونقدر المنافع والتكاليف الكلية وليس الأرباح خصوصاً، وليس على المدى القصير وإنما على المدى الطويل.

د/ تحليل الحساسية: قدرة متخذ القرار على فحص مستوى حساسية الحل في ظل تغييرات تفرضها البيئة على مؤشرات إنجاز الحل، عند اتخاذ القرار تكون نتيجة القرار بالمستقبل وبالتالي إذا استطاع متخذ القرار أن يطرح أسئلة ماذا لو؟ وبالتالي يكون هناك عدة بدائل، وتحليل الحساسية أي تغير الظواهر المحيطة باتخاذ القرار ما مقدار تأثيرها؟.

هـ/ مدخل النظم: نظرية النظم تقول أن الكون الذي خلقه الله تعالى نظام مفتوح يتكون من عمليات ومخرجات وتغذية راجعه وبيئة داخلية وبيئة خارجية وتفاعل مستمر بين هذه المكونات، وبالتالي عندما أريد أن اتخذ قرار يجب أن ننظر إلى عملية اتخاذ القرار كمدخلات وعمليات ومخرجات وتغذية راجعة و بيئة داخلية وبيئة خارجية.

بيئة اتخاذ القرار:

نريد القرار أن يتعامل مع البيئة الموجودة الآن بغض النظر سواء كانت بيئة داخلية أو خارجية أو بيئة كلية أو جزئية بجميع أنواع البيئات المحيطة حول عملية اتخاذ القرار، وينصح متخذ القرار أن يراقب البيئة بشكل دائم ويعمل عملية مسح ومراقبة وتدقيق لكل بيئة بكل متغيراتها وأصنافها ليستفيد من هذا التغير ويتفادى الأثر السلبي له، ويمكن تصنيف البيئة التي تتخذ فيها قرارات الأعمال حسب درجة التأكد، والتأكد أو عدمه يكون ناتج بالدرجة الأولى عن المستوى الذي يتوفر فيه المعلومات حول الموضوع، فإذا لم تتوفر أي معلومات ولا بيانات فالوضع (عدم تأكد) وهو أخطر أنواع البيئات، ويمكن أن تصنف البيئات إلى:

1/ البيئة في حالة التأكد التام: الشمس تشرق من الشرق هذه حقيقة علمية، فإذا واجهتنا ظاهرة إدارية وتوفرت معلومة 100% عن حدوث وضع معين تسمى تأكد تام وبالتالي سهل علينا اتخاذ القرار واختيار البديل، وإذا ضمنا بيئة التأكد التام سنختار مثلاً إذا كنا نتعامل مع أرباح أعلى بديل يوفر لنا أعلى أرباح، ومع تكاليف أقل بديل يوفر أقل تكاليف، فالمعطيات والبيانات والمعلومات اللازمة لاتخاذ القرار متوفرة 100% وبالتالي فالعنصر الاحتمالي في اتخاذ القرار غير مهم في هذه الحالات، وتتكون المصفوفة في حالة طبيعية واحدة.

2/ البيئة في حالة المخاطرة: المخاطرة وعدم التأكد ليست مترادفة، فالمخاطرة شيء وعدم التأكد شيء آخر، وهنا تكون المعطيات والبيانات والمعلومات اللازمة لاتخاذ القرار متوفرة ولكنها تخضع للتقييم الاحتمالي، فمثلاً نتوقع أن يكون الطلب على إنتاج مصنع للسيارات الشهر القادم 300 سيارة باحتمال 40%, أو 200 سيارة باحتمال 25%، أو 500 سيارة باحتمال 35%، وهنا نلجأ إلى تقييم البدائل بعدد من الطرق سنوضحها لاحقاً، ونلاحظ مجموع الاحتمالات يجب أن يساوي وأحد صحيح (40% + 25% + 35% = 100%) ففي حالة المخاطرة تكون الاحتمالات عن حدوث حالات الطبيعة المستقبلية معنا معروفة، وليست البيانات والمعلومات معروفة وإنما الاحتمالات عن حدوث حالات طبيعية تكون متوفرة، ومجموع الاحتمالات يجب ألا يزيد عن وأحد صحيح.

3- البيئة في حالة عدم التأكد: وهي أخطر أنواع البيئات وهي غموض تام 100%، (فالبيئة في حالة التأكد التام توفر بيانات ومعلومات بنسبة 100%، وفي حال المخاطرة توفر احتمالات عن توقع حدوث حالات الطبيعة وتأتي 50%، 60%..، وفي حال عدم توفر معلومات ودرجه غموض كاملة 100% يسمى حالة عدم تأكد)، وهنا لا تكون المعلومات الاحتمالية عن حدوث حالات الطبيعة متوفرة ويسود الغموض التام عن المستقبل وعن توقع حدوث حالات الطبيعة في المستقبل وهنا نلجأ إلى تقييم البدائل بعدد من الطرق سوف نوضحها لاحقاً.

عناصر مصفوفة اتخاذ القرار:

1/ مجموعة البدائل: وهي الخيارات التي سيقوم متخذ القرار بالتقاء أحدها، مثل (مصنع صغير, وسط, كبير).

2/ حالات الطبيعة: وهي حالة الطبيعة المستقبلية والتي تقع خارج سيطرة متخذ القرار، مثل الطلب المتوقع في الشهر القادم مثال (ط1, ط2,ط3).

3/ الاحتمالات: تقدير قيمة احتمال لكل حالة طبيعة مستقبلية مثلا 20% طلب مرتفع.

4/ مجموعة النتائج: تأثير الربح أو الخسارة المصاحب لكل بديل مقروناً مع كل حالة طبيعة.

ومصفوفة القرار في حالة المخاطرة تتكون من أربعة عناصر (مجموعة البدائل، حالات الطبيعة، الاحتمالات، مجموعة النتائج).

وأما في حالة عدم التأكد فتتكون مصفوفة القرار من ثلاثة عناصر فقط (مجموعة البدائل، حالة الطبيعة، مجموعة النتائج).

والرسم التالي يمثل مصفوفة اتخاذ القرار:

حالات الطبيعة البدائل	حالة الطبيعة الأولى	حالة الطبيعة الثانية	حالة الطبيعة الثالثة	نتائج التقييم EMV	نتائج التقييم EOL
البديل الأول	النتائج	النتائج	النتائج
البديل الثاني	النتائج	النتائج	النتائج
البديل الثالث	النتائج	النتائج	النتائج
الاحتمالات لحالة الطبيعة	30%	25%	45%

حالات الطبيعة (البدائل): تأخذ العامود الأول في المصفوفة (البديل الأول البديل الثاني البديل الثالث).

 ولاحظ البدائل (لون أسود عامودي)، (وأفقياً الصف الأول حالات الطبيعة باللون الأحمر) حالة الطبيعة الأولى حالة الطبيعة الثانية حالة الطبيعة الثالثة.

نحن متوقعين أن تحدث ثلاث حالات طبيعة (تقاطع حالة الطبيعة مع البديل) وهي النتائج.

آخر سطر الاحتمالات لحالة الطبيعة إذا كانت المصفوفة مخاطرة، فمثلاً حالة الطبيعة الثانية تقاطعها مع الاحتمالات لحالة الطبيعة 25% ، أي في حال حدوث حالة الطبيعة الثانية 25%.

وهذه المصفوفة بعد أجراء عمليات حسابية بسيطة نعمل على نتائج تقييم البدائل وتكتب بجانب المصفوف (طريقةEMV القيمة المتوقعة النقدية)، وطريقة ثانية وهي نتائج التقييم حسب ( EOL أي تقييم الفرصة الضائعة المتوقعة المستقبلية) وبعضهم يسميها (الندم المتوقع) الفرصة الضائعة لعدم اختيار البديل الأول.

مسائل محلولة على حالة المخاطرة:

يرغب مدير مصنع في تقييم ثلاثة بدائل للتوسع في نشاطاته الإنتاجية وهذه البدائل هي بناء مصنع صغير أو متوسط أو كبير ويواجه هذا القرار توقع ارتفاع الطلب أو ثباته أو انخفاضه علماً بأن احتمال ارتفاع الطلب هو 40% وثباته 35% وانخفاضه 25% وقد قدر المدير نتائج البدائل مقرونة مع حالات الطبيعة كما في الجدول التالي:

والمطلوب ما هو القرار الأمثل؟:

حالات الطبيعة البدائل	حالة الطبيعة الأولى ط1	حالة الطبيعة الثانية ط2	حالة الطبيعة الثالثة ط3
مصنع صغير	100	190	70
مصنع وسط	200	100	90
مصنع كبير	300	80	100
الاحتمالات لحالة الطبيعة	40%	35%	25%

الحل: عندي ثلاث بدائل نبدأ نشكل المصفوفة: العامود الأول نسميه البدائل (مصنع صغير، مصنع وسط، مصنع كبير).

حالات الطبيعة: الموضوع الذي يهمنا في المستقبل وهو موضوع الطلب، فتوقع ارتفاع الطلب هو موضوع حالات الطبيعة بالخط الأفقي (ارتفاع الطلب، ثبات الطلب، انخفاضه) .

والمشكلة في هذا المثال تمثل (مخاطرة) لأن الاحتمالات مذكورة في السؤال، ولو كانت الاحتمالات غير مذكورة في السؤال فتكون إما تأكد تام إذا قلت عندي معرفة يقينية بنسبة 100%، أو عدم تأكد إذا لم تأت الاحتمالات.

حالة الطبيعة الأولى ط1: ارتفاع الطلب (إذا كانت مصنع صغير وحدثت حالة الطبيعة الأولى راح تؤدي لتوفير ربح بمقدار 100 دينار، وفي المصنع الوسط توفر 200دينار، والكبير توفر 300 دينار، والاحتمال 40%.

حالة الطبيعة الثانية ط2: ثبات الطلب (مصنع صغير يوفر 190، مصنع وسط 100، مصنع كبير 80) الاحتمال 35%.

حالة الطبيعة الثالثة ط3: انخفاض الطلب (الصغير 70، الوسط 90، الكبير 100) والاحتمال 25%.

والمصفوفة تتضمن كافة المعطيات (ترجمة السؤال إلى مصفوفة بشكل سليم يسهل حله) فنضيف عامودين وأحد نسميه EMV  ، والثاني EOL .

حساب EMV : يتم بإيجاد مجموع ضرب النتائج لكل بديل في احتمالات حالات الطبيعة كالآتي:

(100×0.4) + (190 × 0.35) + (70×0.25) = 124 وهكذا لبقية البدائل والنتائج موضحة في الجدول أدناه.

الحالات الطبيعة البدائل	حالة الطبيعة الأولى ط1	حالة الطبيعة الثانية ط2	حالة الطبيعة الثالثة ط3	التقييم النتائج EMV
مصنع صغير	100	190	70	124
مصنع وسط	200	100	90	137.5
مصنع كبير	300	80	100	175.5
الاحتمالات لحالة الطبيعة	40%	35%	25%

وبما أن القيمة النقدية المتوقعة للبديل الثالث (مصنع كبير) تحقق أعلى قيمة وهي 173 ألف دولار فإننا نختار القيام بتنفيذ المصنع الكبير لأنه أعلى أرباح ممكنة (النواتج في المصفوفة هي أرباح لذلك نختار البديل الذي يقابل أعلى أرباح) ولكن لو كانت النواتج في المصفوفة تكاليف فسوف نختار البديل الذي يقابل أقل قيمة نقدية متوقعة.

حساب القيمة النقدية المتوقعة ( E يعني متوقعة) ( M يعني فلوس نقدية) ( V يعني قيمة)، والقيمة النقدية المتوقعة EMV تستخدم لحساب اختيار البديل الأفضل في حالة المخاطرة عندما تكون الاحتمالات معروفة.

حساب طريقة الفرصة الضائعة المتوقعة EOL:

الفرصة الضائعة هي مقدار الندم الناتج عن عدم اختيار البديل الأفضل لكل عمود في المصفوفة، والبديل الأفضل (إذا كانت المصفوفة أرباحاً نطرح من أعلى الأرقام)، (وإذا كانت المصفوفة تكاليف فنطرح من أقل الأرقام في كل عمود) وبالتالي نضع الفرق (المطلق) بمصفوفة جديدة تسمى مصفوفة الندم أو الفرصة الضائعة EOL ، ونقوم بحساب الفرصة الضائعة لكل بديل بحساب مجموع ضرب الأرقام الموجودة داخل مصفوفة الندم لكل بديل في الاحتمال المقابل لها وسوف نختار البديل الذي يراقبه أقل فرصة ضائعة أو أقل ندم سواء كانت مصفوفة أرباح أو تكاليف.

فنأخذ أكبر رقم في كل عمود (حالة طبيعة) ونطرحه من نفسه ومن الأرقام التي في نفس العمود كالتالي:

- في العمود الأول (حالة الطبيعة الأولى) أكبر رقم هو 300:

(300-100=200) ونضع الناتج 200 في الجدول بدل الرقم السابق 100.

(300-200= 100) ونضع الناتج 100 في الجدول بدل 200.

(300-300=صفر) ونضع الناتج صفر في الجدول بدل 300.

- في العمود الثاني (حالة الطبيعة الثانية) أكبر رقم هو 190نعمل بنفس الطريقة أعلاه.

- في العمود الثالث (الحالة الثالثة) أكبر رقم هو 100 نعمل بنفس الطريقة أعلاه.

ويصبح الجدول بالطريقة التالية :

حالات الطبيعة البدائل	حالة الطبيعة الأولى ط1	حالة الطبية الثانية ط2	حالة الطبيعة الثالثة ط3
مصنع صغير	200	صفر	30
مصنع وسط	100	90	10
مصنع كبير	صفر	110	صفر
الاحتمالات لحالة الطبيعة	40%	35%	25%

وبعد استخراج الأرقام المطلوبة نحل بنفس الطريقة التي حلينا بها مصفوفة القيمة النقدية المتوقعة كالتالي:

مصنع صغير (200 ×0.40) + (صفر × 0.35) + (30 × 0.25) = 87.5

مصنع وسط (100×0.40) + (90 × 0.35) + (10× 0.25) = 74

مصنع كبير (صفر × 0.40) + (110× 0.35) + (صفر ×0.25) = 38.5

ونختار أقل قيمة موجودة وهي مصنع كبير = 38.5

والجدول سيكون كالتالي:

حالات الطبيعة البدائل	حالة الطبيعة الأولى ط1	حالة الطبيعة الثانية ط2	حالة الطبيعة الثالثة ط3	التقييم نتائج EOL
مصنع صغير	200	صفر	30	87.5
مصنع وسط	100	90	10	74
مصنع كبير	صفر	110	صفر	38.5
الاحتمالات لحالة الطبيعة	40%	35%	25%

فأقل قيمة وأقل ندم ممكن عندنا هو المصنع الكبير = 38.5، (فالقيمة النقدية المتوقعة وقيمة الفرصة الضائعة تكون لنفس المصنع للحالتين مع اختلاف الناتج).

حل المسألة على طريقة عدم التأكد:

نفس المثال في حالة المخاطرة ولكن الاحتمالات غير معروفة

ح ط البدائل	ط1	ط2	ط3	لابلاس احتمالات متساوية EMV	Maxi Max متفائل	Maxi Min متشائم	هورويز الواقعية المعاملات	أكبر ندم لكل  بديل
مصنع صغير	100 200	190 0	70 30	120	190	70	130	200
مصنع وسط	200 100	100 90	90 10	130	220	90	145	100
مصنع كبير	300 0	80 110	100 0	160	300	80	190	110

حالة عدم التأكد: نفس السؤال ونفس حالات الطبيعة ونفس أرقام النتائج (ط1، ط2، ط3)، هذه المصفوفة الأصلية.

الأرقام الخضراء: عبارة عن نتيجة حساب مصفوفة الندم لكن نحسبها في طريقة حالة عدم التأكد بطريقة مختلفة قليل.

لا يوجد احتمالات لأن حالة عدم التأكد تكون الاحتمالات غير معروفة.

حساب القيمة النقدية المتوقعة (EMV):

أفترض أن حالات الطبيعة لها نفس الاحتمال، فعندي 3 حالات ومجموع الاحتمالات لأي حدث = 1 صحيح، إذاً استخراج الاحتمالات (1÷3= 0.33) تقريباً ، وبما أن الاحتمالات متساوية فلا داعي لضرب أرقام النواتج في الصف الأول مقابل مصنع صغير التي هي (100 × 0.33 + 190÷ 0.33 + 70 × 0.33)، ولكن طريقة (لابلاس) (نجمع الأرقام 100+ 190 + 70=360) ونقسمهم على عددهم (نخرج المتوسط الحسابي) (360÷3=120).

والمصنع الوسط (200 + 100 + 90= 390 ÷ 3 = 130) .

والمصنع الكبير (300+80+100= 480 ÷3 = 160).

وحسب طريقة EMV بما أن المصفوفة مصفوفة أرباح يجب أن أختار البديل الذي يقابل أعلى قيمة (160) الكبير.

طريقة (ماكسي ماكس) اختصار لـ  Maximum of Maximum(أي أعلى الأعلى):

وهذه تسمى المتفائل، والمتفائل هو الذي يختار أعلى الأعلى فيتوقع حدوث الأفضل، فلا يوجد أي طرق حسابية للاختيار، فعندنا في المصنع الصغير حالة الطبيعة الأولى 100 ألف ربح، والثانية 190 ألف ربح، والثالثة 70 ألف ربح، وأنا متفائل جداً فسوف نختار حالة الطبيعة الثانية وهي 190 ألف ربح مباشرة.

وفي المصنع الوسط : سنختار 200 ألف.

وفي المصنع الكبير: سنختار 300 ألف.

فأصبح عندنا 190 للبديل الأول، و200 للبديل الثاني، و300 للبديل الثالث، فنختار البديل الأعلى (الكبير 300).

طريقة المتشائمين Maxi of Maimin (أعلى الأسوأ):

فأختار أقل قيمة، فعندي في البديل الأول مصنع صغير أقل رقم هو 70 .

والبديل الثاني الوسط أقل رقم هو 90 .

والبديل الثالث الكبير أقل رقم هو 80 .

فأصبح في العامود المتشائم عندي (90، 80، 70) وسأختار أفضل الأسوأ (90 وهي المصنع الوسط).

طريقة هورويز أو الطريقة الواقعية أو طريقة المعاملات:

(طريقة المعاملات أن هناك معامل للتفاؤل والمتمم له يكون معامل للتشاؤم، والعكس صحيح معامل للتشاؤم والمتمم له يكون معامل للتفاؤل), فمثلاً شخص اسمه (غالب) طرحت عليه بعض الأسئلة وجاب 70% إذن هو 70% متفائل والمتمم حتى يصل 100% = 30 % متشائم.

(يعطيك السؤال في حالة عدم التأكد معيار التفاؤل أو معيار التشاؤم، فإذا السؤال أعطاك معامل التفاؤل أو معامل التشاؤم فأنت تتعامل مع حال عدم تأكد، وبالتالي يجب حل السؤال على حالة عدم التأكد بالطرق الخمسة، وإذا لم يعطيك السؤال لا احتمالات ولا معامل تفاؤل أو معامل تشاؤم وبقيه المعلومات أعطيت لك فيجب أن تحل على حاله عدم التأكد وتعتبر أن معامل التفاؤل 50% ومعامل التشاؤم 50% أيضاً).

الأرقام الخضراء تمثل مصفوفة الندم, ثم نعمل على إضافة عمود (أكبر ندم لكل بديل) ثم نختار البديل الذي يقابل أقل ندم، في طريقة المعاملات يجب أن يكون معروف معامل التفاؤل أو التشاؤم ثم نقوم بحساب مجموع حاصل ضرب ناتج المتفائل في معاملة + ناتج المتشائم في معاملة ونقسم الجواب على اثنين والناتج نضعه تحت عامود المعاملات أو الواقعية  لكل بديل ونختار البديل الذي يقابل أعلى قيمة إذا كانت المصفوفة أرباح (190 تقابل البديل الثالث وهو مصنع كبير) أو أقل قيمة إذا كانت المصفوفة تكاليف.

ففي المثال: ليس عندنا معامل، فنقول المعامل هنا 50 % للمتفائل و50% للمتشائم:

مصنع صغير 190 ×0.50 + 70 ×0.50 = 130

مصنع وسط 200  ×0.50 + 90 × 0.50 = 145

مصنع كبير 300 ×0.50 + 80  × 0.50 = 190

وبما أن المعاملات متشابهة (50%)، فهناك طريقة أخرى وهي:

190 + 70  ÷ 2 = 130

200 + 90 ÷ 2 = 145 وهكذا ,, 

فالنتائج (130 و145 و190) والمصفوفة مصفوفة أرباح فسوف نختار أعلى قيمة وهي 190.

ولو كان معامل المتفائل 70% وبالتالي معامل المتشائم = 30% مثلاً فيكون الحل: (190×70%)+(70×30%)÷2.

طريقة أكبر ندم لكل بديل:

الندم (Regret) ولا أستطيع أخرج أكبر ندم لكل بديل إلا بعدما أخرج الأرقام الخضراء، وطريقة حساب الأرقام الخضراء هي نفس طريقة حساب EOL في حالة المخاطرة، لكن في حالة المخاطرة كانت الاحتمالات معروفة وكنا نضرب الأرقام الخضراء في احتمال كل وأحد ليعطينا الناتج وثم نختار أقل قيمة فرصة ضائعة.

لكن هنا ليس عندي أرقام لذلك لست بحاجة للضرب فقط، فبعدما نخرج الأرقام الخضراء حسب الطريقة السابقة، وعندي البديل الأول المصنع الصغير الأرقام الخضراء فيه (200, صفر, 30) فإنا أريد أن آخذ أكبر ندم (أفرض أسوء الاحتمالات) فيجب أن أختار أعلى قيمة وهي  200 وأضعها على مستوى البديل الأول.

وفي المصنع الوسط البديل الثاني الأرقام  الخضراء فيه (100, 90, 10) أختار أعلى قيمة وهي  100.

وفي المصنع الكبير البديل الثالث الأرقام الخضراء فيه (صفر,110, صفر) أختار أعلى قيمة وهي 110 .

والآن باستطاعتي أن اختار البديل الذي يصاحبه أقل ندم وهو 100ويقابل البديل الثاني المصنع الوسط.

(في طريقة لابلاس اخترت أعلى رقم، في طريقة الماكس ماكس اخترت أعلى رقم، وفي طريقة المتشائم أعلى رقم، وفي طريقة هرويز والواقعية والمعاملات اخترت أعلى رقم، فجميع الطرق الأربعة اخترت أعلى رقم والبديل الذي يقابله، ماعدا الطريقة الأخيرة أكبر ندم لكل بديل وهي بعكس الطرق الأخرى أختار أقل رقم).

(وفي طريقة أكبر ندم لكل بديل وفي حالة عدم التأكد، وفي طريقة الندم أو في طريقةEOL المخاطرة، دائماً سنختار الرقم الأقل والبديل الذي يقابل أقل رقم).

وهناك فرق آخر بين EOL و EMV : ففي حالة المخاطرة البديل الذي سنختاره في حالة EOL وEMV يجب أن يكون نفس البديل مصنع كبير هنا ومصنع كبير هنا, أو مصنع صغير هنا ومصنع صغير هنا....

أما في حال عدم التأكد فلا يشترط أن يكون نفس البديل في كل طريقة .

شجـرة القـرارات:

تستخدم مصفوفة القرار لمعالجة المشاكل البسيطة والتي تتطلب اتخاذ قرار حالي (نتخذ القرار الآن لكن نتائجه تكون بالمستقبل), ولكن عندما نريد قراراً على فترات زمنية متباعدة وبناء على نتائج الفترة الزمنية الأولى نحتاج لاستخدام شجرة القرارات، يعني الآن نحن نحدد تاريخ من اليوم إلى بعد سنة نحدد القرارات حسب النتائج (لو حدث هذا نفعل هكذا) بعد مرور السنة, وربما يكون القرار بعدة مراحل على أربع أو خمس أو أكثر, و بالتالي الشجرة تتفرع وتتعقد وتطول، وشجرة القرار تتعامل مع نفس عناصر القرار الواردة في مصفوفة القرار وهي البدائل والنتائج وحالات الطبيعة والاحتمالات.

ومصفوفة اتخاذ القرار ممكن أن تكون مفيدة عندما يكون عندي بديلين أو 3 أو 4, وعندما تكون حالات الطبيعة المتوقعة حالتين أو 3 أو 4, بحيث أن الإنسان العادي وبالطريقة اليدوية يستطيع أن يلم بها ويحسبها, لكن الحياة العملية ليست هكذا, فلدينا عدد لا متناهي من البدائل, وحالات الطبيعة عدد لا متناهي، وكثير من الحالات تريد أن تتخذ قراراً الآن, ولكن التخطيط الاستراتيجي طويل المدى (والفرق بين التخطيط والخطة أن التخطيط عملية مستمرة خط مستقيم له بداية وليس له نهاية، وأما الخطة فهي الوقوف في لحظة زمنية معينة ومراجعة ما تم إنجازه ومقارنته مع الأهداف التي كانت موضوعة وحساب الانحرافات سلبية أو إيجابية، ولذلك نسمع خطة خمسية لخمس سنوات أو ثلاثية لثلاث سنوات, ولا يمكن أن نسمع تخطيط لخمس سنوات لأن التخطيط مستمر).

واتخاذ القرارات يتم عبر مراحل كما في أغصان الشجرة ومن هنا جاءت التسمية, فالقرار يبدأ من نقطة يتفرع منها غصنان يكبران وبعد مرور سنتان هذان الغصنان يتفرع منهما أغصان أخرى وهكذا، ونحن في تقليم الشجرة نقص الغصن الضعيف ونقوي الغصن القوي, وكثير من القرارات لا نأخذها مرة واحدة وهذا مبرر وجود شجرة القرارات, فكثير من القرارات تتصف بالتعقيد ويسمونها قرارات غير مهيكلة فالعلماء يحاولون أن يتوقعوا ويضعوا احتمالات ضمن منهجية علمية وليس شرطاً أن يكون التنبؤ صحيحاً لكن يقترب من الدقة كلما استخدمنا منهجية علمية.

وعندما نتعامل مع شجرة القرارات نتعامل مع قرارات مصيرية ومعقدة ونحن في كل تفرع جديد كأننا نجيب على سؤال يدرس في الجامعات الغربية وغيرها وهو (What if analysis) ماذا لو أو (Sensitivity Analysis) تحليل الحساسية, وفي السؤال الأول (ماذا لو؟) أي يكون عندنا خطط بديلة، وهذا السؤال من ضمن شجرة القرارات.

مكونات شجرة القرار: تتكون من رموز وهي:

1/ مستطيل يمثل نقطة القرار التي يتخذ عندها القرار.

2/ دائرة تمثل نقطة الوصول التي ينبثق منها حالات الطبيعة مع الاحتمال.

وفي شجرة القرارات يجب أن تكون الاحتمالات معروفة, وتتكون شجرة القرار من رموز ويجب أن تبدأ بمستطيل وفي اللغة العربية نبدأ من اليمين إلى اليسار والحل من اليسار إلى اليمين, وفي اللغة الإنكليزية يكون العكس، فنرسم المستطيل من اليمين وهو يمثل نقطة القرار وهو آخر شي نحسبه, والمستطيل يتفرع منه أفرع بعدد الحالات ينتهي بدائرة تمثل نقطة الوصل وهي النقطة التي تنبثق منها حالات الطبيعة وهي تتفرع بعدد حالات الطبيعة.

·        وفي الرسم المستطيل يقع على اليمين والطبيعة (قرار).

·        (ب1/ ب2) تعني عندنا بديلين ولو كان عندنا بديل ثالث نرسم غصن ثالث.

·        الدائرة تمثل نقطة اتصال مابين البديل وحالات الطبيعة.

·        ط1 حالة الطبيعة الأولى, ط2 حالة الطبيعة الثانية.

·        ح1 احتمال حدوث حالة الطبيعة الأولى, ح2 احتمال حدوث حالة الطبيعة الثانية (انتهينا من البديل الأول).

·        ن1/ ن2/ ن3/ ن4 عبارة عن النواتج التي كانت في الخلايا في المصفوفة.

·        (قم) هي القيمة النقدية المتوقعة أو القيمة المتوقعة, للبديل الأول (ب1) نضرب الاحتمال في النتيجة كما فعلنا في المصفوفة (ح1× ن1) + (ح2× ن2). (وهكذا للبديل الثاني ..).

مثال: نحاول أن نقارن بين المثال في مصفوفة القرار ورسمة المصفوفة مع شجرة القرار من أجل الربط والاستنتاج:

الشرح:

المستطيل: هو نقطة اتخاذ القرار، ونضع البدائل (لدينا 3 بدائل ب1,ب2,ب3) وهي إنشاء مصنع صغير, وسط, كبير.

ومن البدائل لدينا الدائرة التي تربط بين حالات الطبيعة وكل بديل(هنا حالات الطبيعة نضعها بشكل عامودي).

والأرقام "الاحتمالات" في مصفوفة القرار كانت بالسطر الأخير بشكل أفقي 0.40 لحالة الطبيعة الأولى, 0.35 لحالة الطبيعة الثانية, 0.25 لحالة الطبيعة الثالثة (وبما أن حالات الطبيعة كانت في المصفوفة صف وأصبحت هنا عامود فالاحتمالات تتبع حالات الطبيعة وأصبحت أيضاً عامود).

النواتج 100, 190, 70 : يعني أنه لو حدثت حالة الطبيعة الأولى للبديل الأول تكون النتيجة 100، ولو حدثت حالة الطبيعة الثانية للبديل الأول 190، ولو حدثت حالة الطبيعة للبديل الأول الثالثة 70.

حساب EMV حسب شجرة القرار:

هي نفس طريقة حساب EMV في حالة المخاطرة (نضرب كل ناتج لكل بديل في احتماله لنفس حالة الطبيعة) (والحل في اللغة العربية في شجرة القرار من اليسار إلى اليمين كالتالي: 100)×(0.40 + (190×0.35) + (70×0.25) =124) وهي نفس الإجابة التي كانت للـEMV للبديل الأول.

ونفس الشيء للبديل الثاني كالتالي 200)×(0.40 + (100×0.35) + (90×0.25) = 137.5.

والبديل الثالث 300)×(0.40 + (80×0.35) + (110×0.25) =175.5.

والآن شجرة القرار التي نريد أن نتعامل معها هل هي أرباح أم خسائر أم تكاليف؟ (هي أرباح فيجب أن نعظم أرباحنا ومنافعنا ونختار أعلى قيمة ربحية EMV أو أعلى منفعة والتي تتمثل بـ 175.5)، ولو كانت تكاليف نفس المسألة سنقوم بحلها بنفس الطريقة ولكن خيارنا سيكون 124.

ونحن لدينا 3 أغصان أي 3 بدائل ب1,ب2,ب3 واخترنا ب3 إنشاء مصنع كبير فيجب في طريقة الرسم أن نضع إشارة اكس أو خطان متوازيان على البديل الذي لم نقم باختياره, حتى نقوي الغصن الثالث المثمر ونقطع الأول والثاني.

نظرية بييز "Bayes":

تعتمد على النظرية الاحتمالية، وهذا له علاقة بشجرة القرار وله علاقة بنظرية اتخاذ القرار، فنظرية بييز تعالج الاحتمال المشروط في حالة عدم توفر معلومات عن تقاطع الاحتمالات وإنما توفر معلومات عن احتمال مشروط آخر.

القانون العام لنظرية بيز هو: ح(م/ب)= (ح(ب/م) × ح(م)) ÷ (ح(ب/م) × ح(م)) + (ح(ب/مَ) × ح(مَ)).

ح(م) بدون فتحة على الميم تعني احتمال حرف م.

ح(مَ) م فوقها فتحة تعني متممة م.

ح(م/ب) تعني: ماهو احتمال م بشرط حدوث الحدث ب (ماهو احتمال م فيما لو وقع الحدث ب)، وفي هذه الصيغة سنجد أن الاحتمال (ب) يقع أولاً، ثم نسأل: ماهو احتمال م بشرط حدوث ب (الذي يأتي بعد الشرطة / يجب أن يكون قد وقع وعرفنا النتيجة مسبقاً).

 ح(م/ب)= (ح(ب/م) × ح(م)) ÷ (ح(ب/م) × ح(م)) + (ح(ب/مَ) × ح(م)).

ح(ب/م)*ح(م) هذا البسط نضرب ح(ب/م) في ح(م)، ثم نقسمها على المقام وهو مجموع الاحتمالات الممكنة, مجموع عناصر فراغ العين" = ح(ب/م)×ح(م) وهو نفس البسط + متممة البسط وهي "ح(ب/مَ) × ح(مَ)"

ومتممة م = 1- ح(م)، يعني الميم والميم المتممة يجب أن تساوي 1 صحيح (م)+(مَ) =1   

ومجموع الاحتمالات هي الاحتمال العادي + المتممة.

مثال: يكسب أحد مكتب المحاماة المشهورة (90%) من القضايا التي يكلف بها من قبل الزبائن ويتوفر لدى المكتب نوعين من المحامين (الأساتذة والجدد), يكسب الأساتذة في المتوسط (95%) من قضاياهم بينما يكسب الجدد (80%)  من القضايا التي توكل إليهم, ويقوم المحامون الجدد بالدفاع عن (70 %) من القضايا بينما يقوم الأساتذة  بالدفاع عن  (30%) من القضايا, اختيرت إحدى القضايا التي تم كسبها حديثاً, احسب  احتمال أن يكون المحامي الذي كسبها من الأساتذة.

الحل: في المسألة أعطاك نسبة قضايا المحامين الأساتذة وهي 30% وقد لا يُذكر في الاختبار نسبة المحامين الأساتذة فيجب أن تعرف النسبة بنفسك لأنها عبارة عن متممة (100% - 70% = 30%):

يمكن استنباط  الاحتمالات التالية من النص أعلاه:

ح(ك) = احتمال كسب القضية = 0.9 (قلنا ك من كلمة كسب لأنها تبدأ بحرف الكاف)

ح(م)= احتمال أن يكون المحامي أستاذاً = 0.3(م محامي أستاذ, ومن السؤال 30% = 0.3)

ح(مَ) = احتمال أن يكون المحامي جديداً = 0.7(مَ المتممة تعني محامي جديد مَ =70%)

ح (ك/م) = احتمال كسب القضية من قبل الأساتذة = 0.95

ح(ك/مَ) = احتمال كسب القضية من قبل الجدد = 0.8

المطلوب: ح(م/ك) أي ما هو الاحتمال أن يكون الذي كسب القضية  حديثاً من الأساتذة.

ح (م/ك) الميم أتت أولاً فإذاً هي المطلوبة وليس الكاف، ففي نظرية بيز تضع المطلوب أولاً ثم الذي حدث وتم وقوعه  ثانياً مشروط ح (م/ك) (وتعني ميم احتمال أن يكون المحامي الذي كسب هذه القضية من الأساتذة).

فنطبق القاعدة: ح (م / ك) = ح (ك / م) * ح (م) ÷ ح (ك / م) * ح (م) + ح (ك / مَ) * ح (مَ)

                              = (0.95 × 0.3)     ÷ (0.95 ×0.3)     +        (0.8 ×0.7)   = 0.337

أي أن احتمال أن تكون القضية قد نفذها أحد الأساتذة 34%. (إذاً احتمال: ح (م/ك) = 34%).

والآن ما هو الاحتمال أن تكون هذه القضية قد كسبها أحد المحامين الجدد؟

الحل: يمكن الحصول على الإجابة بطريقتين هما نظرية بيز والطريقة المكملة الاحتمالية:

الطريقة الأولى: نظرية بيز:

ح (مَ /ك) = (ح(ك/مَ)×ح(مَ)) ÷ (ح (ك/مَ) × ح (مَ)) + (ح (ك/م) × ح (م))

ح (مَ/ك) = 0.8 ×0.7 ÷ (0.8 × 0.7 ) + (0.95 × 0.3 ) = 0.663

فهنا العملية تشبه ما قمنا به في استخراج نسبة احتمال كسب القضية للمحامين الأساتذة, ولكن باستبدال ميم بميم شرطة فقط، فاحتمال أن يكسب القضية محام جديد ح (مَ/ك) = 0.66 (66%).

ولو أخذنا 66 % وجمعناها بـ 34 %  يكون الناتج 100%

الطريقة الثانية: الطريقة المكملة الاحتمالية:

ح (مَ/ك) = 1- ح (م/ك)

ح (مَ/ك) = 1-0.34 =0.66

وهكذا نرى أن نظرية بيز تستخدم كأداة لاتخاذ القرار في العديد من مجالات الإنتاج والعمليات والتخطيط وغيرها من نشاطات المدير التي يتخذ فيها قرارات تعتمد على معلومات احتمالية.

والسؤال قد يكون مثلاً مكتب المحاماة فأخذنا نوعين من مكاتب المحاماة (أساتذة وجُدد) وقد يكون ثالث وبالتالي ففي حالة البسط في القانون نقسم على 3 أنواع أي على جميع عناصر الفراغ العيني.

نموذج للأسئلة:

1/ تتكون بيئة اتخاذ القرار من:

أ/ تأكد تام, مخاطرة.

ب/ تأكد تام, عدم التأكد, بيئة غير معلومة.

ج/ تأكد تام, مخاطرة, عدم التأكد.

د/ (أ + ب).

2/ في حالة المخاطرة:

أ/ تتكون المصفوفة من حالة طبيعية واحدة ومن عامود واحد, وتكون الاحتمالات معروفة.

ب/ تتكون المصفوفة من حالة طبيعية واحدة ومن عامود واحد, وتكون الاحتمالات غير معروفة.

ج/ تتكون المصفوفة من عدة احتمالات طبيعية, وتكون الاحتمالات غير معروفة, وتُحل بثلاثة طُرق.

د/ تتكون المصفوفة من عدة حالات طبيعية, وتكون الاحتمالات معروفة, وتحل بطريقتان.

3/ عند استخدامنا لطريق الندم (EOL) نلاحظ EOL  مرتبط دائماً بالمخاطرة:

أ/ نختار أقل رقم إذا كانت المصفوفة تكاليف.

ب/ نختار أقل رقم إذا كانت المصفوفة أرباح.

ج/ نختار أعلى رقم إذا كانت المصفوفة أرباح.

د/ (أ+ب) .

4/ في حالة استخدام EMV واستخدام OL  لحل مصفوفة اتخاذ القرار:

أ/ لا يكون البديل المختار للطريقتين هو نفس البديل.

ب/ يكون البديل المختار للطريقتين هو نفس البديل في حالة مصفوفة التكاليف.

ج/ يكون البديل المختار للطريقتين هو نفس البديل في حالة مصفوفة الأرباح.

د/ ( ب + ج).

البرمجة الخطية

البرمجة الخطية هي من النماذج الكمية الرياضية المستخدمة في تقييم البدائل وخطوات اتخاذ القرار وتعريف المشكلة ثم جمع المعلومات عن المشكلة وتطوير البدائل والتقييم الأولي للبدائل ثم اختبار البدائل باستخدام النماذج (كمية وكيفية) والنماذج الرياضية هي نماذج كمية ومن أهمها البرمجة الخطية، وهي علاقة رياضية كمية تساعد في تقييم البدائل من أجل الوصول إلى النتائج سواء تعظيم أرباح أو تجنب شيء غير مرغوب.

طرق حل مسائل البرمجة الخطية:

1/ الطريقة البيانية (طريقة الرسم).

2/ طريقة السمبيلكس (تحتاج إلى جهد وتركيز ومتابعة).

3/ طريقة النقل والتخصيص (الطريقة الهنقارية).

وبالرغم من أن جميع هذه الطرق تشترك في معالجتها للنموذج العام للبرمجة الخطية إلا أنه يتوقف استخدام أي منها على طبيعة المشكلة المراد حلها وحجم ونوعية المحددات الموجودة ومدى توفر البرنامج الخاص بكل طريقة بالنسبة للحاسبات الآلية الموجودة، لأن البرمجة الخطية ربما تعالج مشاكل معقدة فيدوياً لا نستطيع حل بعض المسائل بل قد نستغرق شهر لحلها يدوياً.

أولاً: الطريقة البيانية (طريقة الرسم):

النموذج : عرض مختصر يمثل الحقيقة أو الواقع وفي بيئة اتخاذ القرارات مهمة لأنها تمثل جوهر العديد من المشاكل الهامة، وتشكيل النماذج الرياضية (هو القيام بعملية تحويل المشكلة الإدارية والحقيقية إلى نموذج رياضي) وهو يمثل الخطوة الأولى الهامة في استخدام هذه النماذج كأدوات رياضية لحل المشاكل الإدارية.

فالبرمجة الخطية هي أحد أساليب حل المشكلات التي تم تطويرها من أجل مساعدة المدراء في اتخاذ القرارات ويمكن تطبيق البرمجة الخطية في عدة مجالات كتخطيط وجدولة الإنتاج وسياسات المخزون والإدارة المالية واختيار محفظة الاستثمار وإدارة التسويق وكيفية توزيع ميزانية الإعلان الثابتة على وسائل الإعلان المختلفة كالراديو والتلفاز...

مميزات ومشاكل البرمجة الخطية:

1/ أن جميع مشاكل البرمجة الخطية تكون إما تعظيم أرباح أو تخفيض تكاليف.

2/ في جميع مشاكل البرمجة الخطية يكون هنالك محددات أو قيود على المصادر المتاحة من أجل تحقيق الأهداف مثل الطلب/ الطاقة الإنتاجية المتاحة/ الزمن ...، وبالتالي المصادر المتاحة محدودة فالاستخدام الجائر لها يؤدي لندرتها.

صياغة ومكونات نموذج البرمجة الخطية:

الغرض من صياغة مسائل البرمجة الخطية هو التعرف على شكل نموذج مسألة البرمجة الخطية المعتادة وكيف نضع المسالة في صيغتها العامة.

مكونات نموذج البرمجة الخطية:

1/ دالة الهدف: ما هو هدفنا من حل هذه المشكلة، فإما تعظيم ونختصرها (عظم) أو تخفيض (خفض).

2/ القيود: عبارة عن محددات وهي قد تكون معادلة رياضية بإشارة = (يساوي) مثل 2س1+3س1=4هذا يساوي معادلة يعني اقتران وقد تكون متباينة ولكن لا يمنع أن تكون القيود تحمل إشارة المساواة.

والمتباينة مثل: 2س1+س2> أو تساوي44 أو أقل أو تساوي 62 أو أكبر، فهذه نسميها قيود محددات.

وليس شرطاً أن يكون القيد دائماً وأبداً متباينة، فقد يكون متباينة وقد يكون معادلة أو دالة يعني قد يكون إشارته(≥ , ≤ , > , < , =).

3/ قيد اللاسلبية: في إدارة الإعمال نتعامل مع مشاكل حقيقة موجودة على أرض الواقع فنتعامل بقضايا الإنتاج مع منتجات حقيقية وليس وهمية، وبالتالي المستوى الديكارتي عندنا المربع الأول تقاطع محور سين مع محور صاد أو x معy  الجزء الفوقاني الأيمن موجب وعلى يساره سالب والجزء السفليين اللي تحت الجزء الثالث على اليسار سالب سين وسالب ص، وعلى الجزء الأيمن يكون سين موجب و ص سالب، لكن نريد هنا أن نتعامل مع متغيرات كلها موجبة فلا يعقل أن ينتج ناقص خمس كراسي أو أتقاضى راتب مقداره ناقص 50، فإذا نحن نتعامل مع المربع الأول من المستوى الديكارتي عندما تكون س موجبة وص موجبة، وهو الجزء الأيمن من الجزء الأعلى.

افتراضات البرمجة الخطية:

1/ التناسبية: تعني أن المساهمة في دالة الهدف والكمية المستخدمة من المصادر تكون متناسبة مع قيمة كل متغير من متغيرات القرار.

2/ الإضافية: تعني أن قيمة دالة الهدف والمصادر الكلية المستخدمة يمكن إيجادها من خلال جمع مساهمة دالة الهدف والمصادر المستخدمة لجميع المتغيرات، أي أن قيمة دالة الهدف تمثل مجموع مساهمات جميع المتغيرات الأساسية، فمثلاً عندنا مصنع يصنع كراسي وطاولات وكل مصادرنا المتاحة موجهه لتصنيع فقط هذين المنتجين (طاولات وكراسي) ففي هذه الحالة يجب أن تكون دالة الهدف تعكس المتغيرين مع بعض ونحسب ربحية إنتاج الطاولة الواحدة وربحية إنتاج الكرسي ونضيفها إلى بعض.

3/ قابلية القسمة: المتغيرات يمكن أن تأخذ قيماً كسرية، فلا يشترط أن تكون جميع قيم المتغيرات أرقاماً صحيحة.

4/ اللاسلبية: تعني أن متغيرات القرار لا يمكن أن تكون سالبة.

مشكلة التعظيم:

البرمجة الخطية تتعامل مع مشكلتين: مشكلة التعظيم ومشكلة التخفيض أو التقليل لشيء غير مرغوب به.

مثال: مدير مصنع أثاث ينتج طاولات (س1) وكراسي(س2) يواجه مشكلة تحديد المزيج الإنتاجي الأمثل من س1 وس2 كم يجب أن ينتج من الطاولات والكراسي ليحقق هدفه والمتمثل بتحقيق أفضل ربح ممكن.

وأصعب مشكلة هي كيفية تحويل مشكلة وصفية أو نصية إلى نموذج رياضي، وتوجد حلقة وسطى قبل النموذج الرياضي وهي تحويل الهدف إلى متباينات وقيود، وتوجد طريقة مساعدة أو حلقة وسطى وهي ما يسمى جدولة الـمشكلة أو عمل المشكلة على شكل جدول:

المنتجات الأقسام الإنتاجية	س1 طاولات	س2 كراسي	الزمن بالساعة المتاح (القيود)
النجارة	2	1	40
الدهان	1	2	44
التجميع والتجهيز	3	2	50
الربح للوحدة الواحدة	20	10

الشـرح: مشكلة البرمجة الخطية تستخدم فقط عندما يكون لدينا متغيرين (س1, س2) أو (س, ص) أو (×, Y)، وفي المثال استخدمنا (س1) لتدل على المحور السيني و(س2) على المحور الصادي العامودي.

ودالة الهدف تمثل تعظيم الربح (أفضل ربح ممكن).

السطر الأفقي العلوي (المنتجات) نضع (س1 و س2)، وفي نفس السطر على اليسار عمود الزمن المتاح أو القيود، وهي المصادر المتاحة (إما تكون زمن أو قطع غيار في المصنع أو أي قيود).

وتحت المنتجات نرى الأقسام الإنتاجية (قسم النجارة، الدهان، التجميع والتجهيز).

في آخر سطر أفقي تضع دالة الهدف (الربح للوحدة الواحدة) أو ممكن تكون التكلفة للوحدة الواحدة.

وصيغة دالة الهدف (20 س1 + 10س2) وهي (عظم) لأن الهدف في السؤال تحقيق أفضل ربح .

والأرقام في منتصف الجدول (2 تحت س1معناها أن س1 كل طاولة تحتاج ساعتين في قسم النجارة، و1 تحت س2 أن كل كرسي يحتاج ساعة واحدة في قسم النجارة).

والـ 40 تحت بند القيود أو الزمن المتاح تعني أن عدد الساعات المتاحة في القسم هي 40 ساعة أسبوعياً أو شهرياً..فيجب ألا نتجاوز الـ40 ساعة، وهكذا في بقية الجدول ...

فالآن حولنا المشكلة الكلامية إلى جدول، ووضعنا النتائج في الجدول التي نسميها مصفوفة أو جدول مشكلة التعظيم، وبعد ذلك نريد أن نصيغ ما ورد في هذا الجدول إلى نموذج رياضي (Mathematical model):

آخر سطر أفقي دالة الهدف (المدون هو الربح) فنقول (عظم ر) > رمز الربح.

ونكتب (ع . ب) ومعناها (علماً بأن) ونكتب القيود:

السطر الأول في الأقسام الإنتاجية 2س1 + 1س2 أقل أو تساوي (≤40): فأعلى شيء مسموح لك به أن تستخدم 40 ساعة أو أقل فلا تستطيع أن تتجاوز الـ40ساعة في قسم النجارة، وقد تستخدم أقل من الأربعين ساعة 30 أو 35).

قسم الدهان: 1س1+ 2س2 ≤ 44.

التجميع والتجهيز: 3س1+ 2س2≤50 .

وأخيراً نجد المتباينات أو الأرقام داخل الجدول بهذا الشكل النهائي الذي نسميه السمبليكس الابتدائي لمشكلة التعظيم

النموذج الرياضي لمشكلة التعظيم :

دالة الهدف (عظم ر) 2س1+10س2

( ع. ب ): القيود        

2س1 + 1 س2 ≤ 40          النجارة

1س1 + 2س2 ≤ 44          الدهــان

3س1 + 2س2 ≤ 50         التجميع والتجهيز

قيد اللاسلبية   س1, س2≥  0

فعندما يكون لدينا علامة (=) يكون لدينا معادلة أو اقتران أو دالة، وعندما يكون لدينا إحدى هذه الإشارات (≥ , ≤) تسمى متباينة، أي أن خط عملها يمثل منطقة وليس الخط المستقيم الذي يمثل المنحنى الخطي.

قيد اللاسلبية: من أجل أن نذكر أنفسنا أن هذه المتباينات والمعادلات لا تنطبق إلا على الجزء المربع الأول حيث س1 وس2 يجب أن تكون أكبر من أو تساوي صفر ولذلك وضعنا قيد اللاسلبية س1, س2 ≥  0

والآن حل المسألة كالتالي: القيد الأول: 2س1 + 1س2 ≤ 40

الإحداثيات:                                          

(س1   , س2 )

( صفر ,  40 )

(20    , صفر)    

وعملية رسم القيد الأول: 2س1+1س2≤ 40 هي كالتالي:

فنعمل على تحويل المتباينة ( ≤ ) إلى إشارة (=) مؤقتاً من أجل أن نعمل على رسم الخط الذي يبين حدود هذه المتباينة، وبعد أن نعمل على رسم المتباينة ورسم هذا الخط يعني حالة مساواة أي أن 2س1+1س2 = 40

ثم نقول: تعريف الخط المستقيم: أي مسافة تصل بين نقطتين على الأقل يفضل أن تكون النقطتين تقعان على المحورين (س1 و س2) ثم نأتي ونعمل على جدول صغير:

س1	صفر	20
س2	40	صفـر

وضعنا س1 وس2 ونضع لكليهما (صفر)، والآن عندما تكون س1= صفر نعوض في المعادلة:

(2×صفر + 1س2=40) إذن س2 = 40

وفي المعادلة الأخرى عندما س2= صفر  فإن س1 =20

والفرق بين إشارة يساوي والمتباينة أن منطقة الحل في المعادلات الخطية من الدرجة الأولى تكون فقط على الخط الذي يمثل المعادلة، بينما المتباينة عندما تكون أقل أو يساوي فيعني هذا أن منطقة الحل من كلمة يساوي تتضمن الخط نفسه الذي يمثل المتباينة عند تحويلها إلى مساواة، وكلمة أقل أي أن المساحة تحت الخط باتجاه نقطة الأصل.

والآن بما أنني حصلت على النقطتين أستطيع وبكل بساطة أن أعين تلك النقطتين على المستوى الديكارتي في المربع الأول حيث أن س1 موجبة وس2 العامودية موجبة، وس1 صفر فهي نقطة تقاطع الأصل بين المحور س1 وس2 بينما س2=40 إذاً النقطة 40 كما في الرسم السابق والمتمثلة بالنقطة B تمثل س1=صفر وس2= 40 على محور الصادات.

والنقطة الثانية هي عبارة عن س1=20 أي أن محور السينات (س1)  يبتعد عن نقطة الأصل بمقدار 20 وصاد يجب أن تكون صفر (س2 تساوي صفر) .

وبعد رسم النقطتين أوصل بينهما بخط مستقيم ( C, B) هذا الخط المستقيم يمثل المعادلة وليس الاقتران.

بعد ننظر لإشارة المتباينة فإذا كانت المتباينة أقل أو يساوي يعني أن المنطقة التي تقع تحت الخط تقع ضمن منطقة الحل وتلبي شروط المتباينة باتجاه النقطة A نقطة الأصل(صفر)، فالمثلث A B C يمثل منطقة الحل الممكنة للقيد الأول وتتمثل بالمثلث A B C بما فيها خط B C نفسه.

ولو كانت المتباينة أقل من 40 فالخط BC سيكون مستثنى من منطقة الحل، ويعمل على توصيل BC بخط متقطع يعني أنه لا يوجد إشارة مساواة في المتباينة وإنما فقط إشارة أقل.

القيد الثاني: 1س1+2س2≤ 44 (نفس العملية في القيد الأول بما أن إشارة المتباينة نفس الإشارة):

وبعد الحل نحدد منطقة الحل وهي المثلث A D E .

للتأكيد إذا كانت إشارة القيد أقل فقط فتعني أن الخط المستقيم E D ليس ضمن منطقة الحل وإنما الذي تحته باتجاه نقطة الأصل، ودائماً أقل أو يساوي باتجاه نقطة الأصل، وأكبر أو يساوي بعيداً عن نقطة الأصل.

القيد الثالث:  3س1+2س2≤54

بنفس الطريقة السابقة وتحدد الحل في المثلث (A F G)

وبعد أن حددنا منطقة الحل الممكنة لكل قيد من هذه القيود، نحدد منطقة الحل الممكنة لجميع القيود مجتمعه بنفس الوقت فنعمل على تجميع الرسمة الأولى والثانية والثالثة للقيود ونرى المنطقة المشتركة التي تحقق جميع القيود دون استثناء بما فيها قيد اللاسلبية، فيصبح الرسم للقيود مجتمعة كالتالي:

فالمنطقة المكونة من أربع أضلاع (A D H I) مشتركة بين القيود مجتمعة، وبما أننا قلنا نريد عظم (ر)، فإن المنطقة ADHI تمثل الربح وكلما زادت المساحة كلما زاد الربح، فنريد أن نحدد نقطة الحل الأمثل وهي أبعد نقطة عن نقطة الأصل، وإذا اخترت أي نقطة على حدود هذه المنطقة أو داخل هذه المنطقة وعوضت بإحداثيات تلك النقطة في القيود مجتمعة فإنها ستلبي شروط القيود، وبالتالي نسميها منطقة الحل الممكنة لجميع القيود.

إحداثيات النقطة (A) هي: (س1 = صفر  , س2 = صفر)

إحداثيات النقطة (D) هي : (س1 = صفر  , س2 = 22)

إحداثيات النقطة (I) هي : (س1 = 18  ,  س2 = صفر)

إحداثيات النقطة (H) هي: لو كان الرسم دقيقاً ننزل عامود من النقطة (H) على س1 وتختار الرقم الذي يوازيها من س1 ويكون الرقم تقريباً 19.5 ولكن الرسم غير دقيق فيجب أن تستخرج إحداثيات النقطة (H) جبرياً:

فالنقطة (H) هي تقاطع قيدين هما الثاني والثالث، فتحول إشارة القيد إلى متساوية مؤقتا يعني إلى معادلة (معادلتين بالمجهولين بالحذف والتعويض تستطيع أن تستخرج إحداثيات النقطة (H) جبرياً) كالتالي:

فالنقطة (H) تقع على تقاطع قيدين وبما أن القيدين تقاطعا عند النقطة (H) فهما متساويان، مع العلم إنني حولت المتباينتين إلى معادلتين ووضعت بدل ( ≤ ) علامة ( = ) وهما كتالي:

القيد الثاني: 1س1 + 2س2 = 44

القيد الثالث: 3س1+ 2س2 = 54

الحل: نأخذ أكبر المعاملات ونضعها أولاً:

3س1 + 2س2 = 54

1س1+ 2س2 = 44

طريقة الحذف: نضرب المعادلة الثانية بالناقص فتصبح:

-1س1 – 2س2 = -44 وبعد ذلك ننقصها من المعادلة الأولى لنتخلص من أحد المتغيرين:

3س1+ 2س2 = 54                  

-1س1 – 2س2 = - 44

الناتج / 2س1 = 54 – 44  (في الحل + 2س2 راح مع – 2س2)

2س1 = 10 إذن (س1 = 10 ÷ 2 = 5) أذن (س1 = 5)

وبعد ذلك أختار إحدى المعادلتين ويفضل الأسهل وهي : 1س1 + 2س2 = 44

ونعوض في 5 بدلاً من س1 فتصبح المعادلة (5 + 2س2 = 44)

وننقل الأرقام مع بعض تصبح: (2س2 = 44 – 5) إذن (2س2= 39) ونقسم 39 على معامل (س2) وهو (2) فيصبح الناتج عندنا: (س2 = 19.5) .وهكذا أخرجنا إحداثيات (H) .

ونحن نركز على الإحداثيات لأننا نريد أن نصل إلى نقطه الحل الأمثل بطريقه الزوايا، أي أعوض هذه الزوايا الأربعة في معادلة أو دالة الهدف والنقطة التي تعطينا أعلى ربح ممكن هي نقطه الحل الأمثل أو النقطة المثالية التي يجب أن نعمل بموجبها، فنقطة الحل الأمثل أكبر ربح ممكن وهي النقطة الأبعد عن نقطة الأصل، بعكس التكاليف التي هي النقطة الأقرب إلى نقطة الأصل.

كيفية حساب نقطة الحل الأمثل:

الزوايا	الإحداثيات	دالة الهدف  عظم ر 20س1+ 10س2	النتائج
A	(0 , 0)	0	0
D	(0 , 22)	= 0+ (10 × 22) = 220	220
H	(5 , 19.5)	100+195= 295	295
I	(18 , 0 )	360+0 = 360	360

دالة الهدف هي : 20س1 + 10س2 (استخرجناها في الجدول في أول الحل في السؤال).

(A) (0 , 0) نضرب معامل س1 بالصفر = صفر, ونضرب معامل س2 بالصفر = صفر. فالناتج صفر.

(D) (0, 22) نضرب معامل س1 بالصفر = صفر, ونضرب معامل س2(10) في 22=220، فالناتج 220.

(H) (5 ,19.5) نضرب معامل س1 في 5=100, ونضرب معامل س2 في 19.5 = 195، فالناتج 295.

(I) (18 ,0) نضرب بمعامل س1 في 18=360, ونضرب معامل س2 في صفر = صفر، فالناتج 360.

فيظهر لنا أن النقطة (I) هي النقطة المثالية لأنها أعطتنا أكبر ربح 360 ريال.

وللتوضيح فالنقطة (I) إحداثياتها (18س1 , صفر س2) وس1 طاولات وس2 كراسي، فعندما نوجه جميع المصادر التي عندنا لإنتاج الطاولات فقط ننتج 18طاولة ونحقق ربح مقداره 360 ريال لأن ربح الطاولة الواحدة 20 ريال (20×18=360) ريال وهي أعلى قيمة في كل النقاط (ADHI) إذن نوصي مدير الشركة بتوجيه المصادر جميعها لإنتاج الطاولات فقط، وليس إنتاج الكراسي في تلك المرحلة.

الدورانية: هي من الحالات الخاصة في البرمجة الخطية سواء في طريقة الرسم أو الطريقة البيانية، وتعني الدورانية: عندما تكون نقطة الحل الأمثل تقع على أحد المحاور إما س1 أو س2 فتسمى هذه الحالة الدورانية، بمعنى أن جميع المصادر المتاحة سوف تدور وتوجه نحو استخدام منتج واحد فقط وليس منتجين.

2/ طريقة السمبيلكس (تحتاج إلى جهد وتركيز ومتابعة).

مشكلة البرمجة الخطية التي تحتوي فقط على متغيرين اثنين للقرار (س1, س2) يمكن حلها عن طريق الرسم، أما المشاكل التي تحتوي على أكثر من متغيرين فلا يمكن حلها بواسطة الرسم وإنما يتم ذلك من خلال الطريقة المبسطة (السمبلكس).

خطوات الحل:

1/ نرسم المتغيرين على المحور الأفقي (س1 طاولات) والمحور العمودي (س2 كراسي).

2/ ندرج كل من محور س1 و س2 بالتدريج المناسب في الربع الموجب من المستوى الديكارتي.

3/ نعمل على إيجاد إحداثيتين أي نقطتين (س1 1, س2 1),(س1 2 , س2 2) لكل قيد.

4/ نعمل على رسم القيد أو القيود بعد تحويل المتباينة إلى دالة أو اقتران مؤقتاً.

5/ نحدد منطقة الحلّ الممكنة لجميع القيود بما فيها قيد اللاسلبية.

6/ نحدد نقاط زوايا منطقة الحل الممكنة.

7/ نعوض تلك النقاط في دالة الهدف.

ودائماً نقطة الحل الأمثل تكون على زوايا منطقة الحل الممكنة سواء كانت المسألة تخفيض أو تعظيم.

مثال: (على مسألة التخفيض):

شركة تنتج نوعين من المواد حددت الشركة إنتاجها من النوعين يجب ألا يقل عن 350 لتر, كما أن طلب العميل الرئيسي لــ 125 لتراً من المادة الأولى يجب أن يتم إشباعه, ويحتاج إنتاج اللتر الواحد من المادة الأولى ساعتين, وإنتاج اللتر الواحد من المادة الثانية ساعة واحدة، وساعات الإنتاج المتاحة للشهر القادم 600 ساعة فقط، وهدف الشركة تحقيق المتطلبات السابقة بأقل تكلفة إنتاج, علماً بأن تكلفة إنتاج اللتر الواحد من المادة الأولى دينارين, وتكلفة إنتاج اللتر الواحد من المادة الثانية ثلاثة دنانير.

الحل:

نفترض أن  س1 = عدد اللترات من المادة الأولى.

س2 = عدد اللترات من المادة الثانية.

وطالما أن تكلفة اللتر الواحد من المادة الأولى = 2 دينار, واللتر الواحد من المادة الثانية = 3دنانير, فإن دالة الهدف تكون تخفيض التكاليف الكلية والتي يمكن أن تكتب على النحو التالي:

(دالة الهدف): خفض ت = 2س1 + 3س2

ونأخذ بعين الاعتبار القيود على هذه الشركة, فمن أجل إشباع الطلب للعميل الرئيسي لـ 125 لتراً من المادة الأولى, فإن س1 يجب ألا يقل عن 125، ولذلك نكتب القيد على الشكل التالي : س1  125(قيد طلب العميل  الرئيسي).

ومزيج الإنتاج من المادتين يجب ألا يقل عن 350 لتراً فنكتب القيد: س1+ س2 350 (قيد مزيج الإنتاج).

وساعات الإنتاج المتاحة للشهر القادم هي 600ساعة فقط فنضيف القيد: 2س1+ س2  600 (قيد ساعات الإنتاج).

وبالتالي تصبح مشكلة هذه الشركة على النحو التالي:

خفض  ت = 2س1+3س2   دالة هدف.

علماً بأن :

س1  125                             قيد طلب المادة

س1+ س2  350                    الإنتاج الكلي

2س1 + س2  600                 وقت الإنتاج

س1, س2 صفر                      قيد اللاسلبية

ورسم القيود لا تفرق سواء كانت مشكلة تعظيم أو تخفيض أو المشكلة أكبر أو يساوي أو أقل أو يساوي في الخطوات الأولى، لكن الاختلاف في تحديد منطقة الحل:

س1 المحور الأفقي (عدد لترات المادة الأولى) ورمزنا لها بالرمز س1 المحور العامودي (الصادي).

س2 (عدد اللترات من المادة الثانية)...

القيد الأول: س1 أكبر أو يساوي 125 فنرسم الخط العامودي الذي يتقاطع مع محور س1بين 100و200 تقريباً، وإشارة القيد أكبر أو يساوي فمنطقة الحل تتضمن هذا الخط بالإضافة إلى جميع المساحة الواقعة على يمين هذا الخط لأن الإشارة أكبر أو يساوي.

القيد الثاني: س1+س2 أكبر أو تساوي 350، فنحول إشارة المتباينة إلى إشارة مساواة مؤقتاً لنرسم القيد، فعندما تكون س1= صفر فإن س2 = 350، وعندما س2 = صفر فإن س1 تساوي 350، فنوصل بين 350 على س1 مع 350 على س2، إشارة القيد الثاني أكبر أو تساوي فمنطقة الحل تمثل الخط زائد المنطقة التي تقع على يمينه (ولو كانت الحالة أقل أو يساوي تكون منطقة الحل تمثل الخط نفسه زائد المنطقة الواقعة تحت الخط أو باتجاه نقطة الأصل).

القيد الثالث: 2س1+س2 أقل أو يساوي 600، فنحول الإشارة مساواة ونرسم الخط، فعندما س2 = صفر فإن 2س1=600، إذاً س1 تساوي 600÷2=300، وعندما 2س1 = صفر فإن س2= 600، وبما أن إشارة القيد أقل أو يساوي فمنطقة الحل الممكنة هي ذلك الخط نفسه والمنطقة الواقعة تحت هذا الخط باتجاه نقطة الأصل.

والمنطقة المشتركة التي تلبي جميع شروط هذه القيود الثلاثة بالإضافة للقيد الرابع وهو قيد اللاسلبية فهي المثلث المحصور بين القيد الأول والقيد الثاني والقيد الثالث باتجاه نقطة الأصل.

وفي التكاليف نريد أن نخفض التكاليف إلى أقل حدٍ ممكن، وبالتالي يهمنا أن نصغر المساحة إلى أقل شيء ممكن (ففي التعظيم كنا نقول أن نقطة الحل الأمثل النقطة الأبعد عن نقطة الأصل) والعكس صحيح في حالة التخفيض فنقطة الحل الأمثل التي تعطينا أقل تكلفة ممكنة هي النقطة الأقرب إلى نقطة الأصل التي هي س1 صفر وس2 صفر).

في حالة مشاكل التخفيض نقوم بنفس الخطوات التي اتبعناها في مسألة التعظيم إلا أن المعيار لاختيار نقطة الحل الأمثل في آخر خطوة تختلف حيث يتم اختيار الخطوة التي تزودنا بأقل تكلفة ممكنة، ونحن عملياً عندما نعوض كل تلك الزوايا في دالة الهدف نريد أن نختبر هذه الزوايا لنرى كم يكون الربح عند كل نقطة إذا كانت المسألة تعظيم، وإذا كانت مسألة تخفيض نريد أن نعرف ما هي التكلفة المصاحبة لكل نقطة من نقاط هذه الزوايا، ونقطة الحل الأمثل سواء في التخفيض أو في التكاليف تكون إحدى هذه الزوايا الواقعة على حدود منطقة الحل الممكن.

فمنطقة الحل الممكنة لمشكلة الشركة تحتوي على ثلاث نقاط وزوايا هي (1)،(2)،(3) ولكن إحداثيات هذه النقاط غير معروفة ويمكن الحصول عليها كما يلي:

هذه الزوايا 1. 2. 3 هي نتيجة تقاطع أكثر من قيد، فالنقطة (1) نتيجة تقاطع قيدين، والنقطة (2) نتيجة تقاطع قيدين، والنقطة (3) نتيجة تقاطع قيدين، ونفترض أن رسمنا غير دقيق فيجب أن نخرج هذه النقاط جبرياً من خلال معادلتين خطية من الدرجة الأولى لمجهولين، فنستطيع من خلال الحذف والتعويض أن نعرف إحداثيات كل نقطة، ونخرج قيمة س1 وقيمة س2 كالتالي:

النقطة (1) هي عبارة عن تقاطع خط القيد 2س1+س2=600 مع خط القيد س1+س2=350 إذاً:

2س1+س2=600

س1+ س2= 350

فنضرب المعادلة الثانية بـ -1 ونجمع المعادلتين فنحصل على س1= 250

ونعوض قيمة س1 في المعادلة الثانية: 250+س2= 350 (إذاً س2=100)

إذاً إحداثيات النقطة (1) هي (س1=250، س2=100)

النقطة (2) هي عبارة عن تقاطع خط القيد س1+س2= 350 مع خط القيد س1= 125 إذاً:

ولأن س1 معروفة 125 فنعوض القيمة (2س1 + س2 =600)

س2 لابد أن تكون 350 لأن 2س1  125 × 2  = 250 ، أجمع 250 + 350 = 600

هذا لا يحتاج لا حذف ولا تعويض ، تعويض مباشر لأن س1 =125 ، س2 بالسطر الثاني س2 = 350

لأنني عوضت قيمة س1 في المعادلة 2س1 + س2 = 600

(2 × 125) + س2 = 600 (إذا س2 = 350) .

فإحداثيات النقطة (2) (س1=125، س2=350)

النقطة (3) هي عبارة عن تقاطع خط القيد س1+س2=350 مع خيط القيد س1=125 إذا:

س1=125 فنعوض قيمة س1 في المعادلة س1+س2=350 :

125 + س2 = 350 (إذاً س2=225) .

فإحداثيات النقطة (3) هي (س1 = 125 ، س2=225)

وأصبحت لدي جميع النقاط معروفة ونقوم بالتعويض بعملية اختبار نقاط الزوايا كما يلي:

النقطة	الإحداثيات	2س1+3س2	قيمة دالة الهدف
1	(100.250)	2(250)+3(100)	800
2	(350.125)	2(125)+3(350)	1300
3	(225,125)	2(125)+3(225)	925

          النقطة 1 "دالة الهدف 2س1 + 3س2 فنعوض إحداثيات النقطة س1 و س2

2 × 250 = 500  + 3× 100= 300   ، 500 + 300 = 800

النقطة 2 " دالة الهدف 2س1+3س2 فنعوض إحداثيات النقطة س1 و س2

2×125 = 250 + 3× 350 = 1150  ، 250 + 1150 = 1300

النقطة 3 " دالة الهدف 2س1+3س2 فنعوض إحداثيات النقطة س1 و س2

2×125 = 250 + 3×225 = 675     ، 250 + 675 = 925

فمن خلال التعويض بدالة الهدف والمسألة تخفيض نختار النقطة 1 لأنها الأقل قيمة، فنوصي بإنتاج 250 لتر من المادة الأولى وإنتاج 100 لتر من المادة الثانية لأننا في هذه الحالة سوف نتحمل تكاليف وهي 800 دولار لكل وحدة زمن، وهذه أقل قيمة ممكنة وهي أفضل قيمة والقيمة المثالية التي توصلنا لها من خلال خطوط التكلفة المتوازية.

معنى خطوط التكلفة المتوازية: في التكاليف نقترب من نقطة الأصل ونفترض أعلى قيمة وهي الأسوأ لأنه في حال اتخاذ القرار حتى على المستوى الشخصي تفترض أسوء الاحتمالات ونستعد لها، وفي خطوط التكلفة نفترض أن قمة التكلفة عالية جداً وبالتالي نعوضها ونرسم خط موازي يمثل دالة الهدف وبعدها خطوط متوازية لنقطة الأصل حتى نصل إلى نقطة الحل الممكنة، ولو كانت المسألة ربح فنعمل العكس فنفترض ربح قليل وهو الأقرب لنقطة الأصل ثم نرسم خطوط متوازية إلى أن نقطع نقطة الحل الممكنة.

حالات خاصة special cases:

1/ توفر عدة حلول مثلى.

2/ عدم توفر حلول: ليس هناك منطقة حل ممكنة تلبي جميع القيود بنفس الوقت.

3/ عدم توفر حدود : ليس هناك منطقة حلول مشتركة تلبي جميع القيود بنفس الوقت.

4/ الدورانية.

معظم طرق البرمجة حتى الرياضية هي تقريبية وكثير من الأمور في البرمجة الخطية نلجأ إلى (تحليل رياضي) أي أن المنطق الرياضي في تتبع الخطوات أحياناً يمنعنا من الوصول إلى الحل، وبالتالي نلجأ لعملية التحايل الرياضي، فنتحايل على المنطق الرياضي بواسطة استخدام خدع أو تحايل يجب أن يكون منطقي وطريقة إجراؤه منطقية وتتعامل مع المنطق والخوارزميات، وأحيانا قد نجد أوضاعاً معينة تمكن متخذ القرار من استخدام وتوزيع الموارد والمصادر بطريقة تؤدي لإعطاء أكثر من حل مثالي, وهذا شي جيد ومرغوب ويعطي متخذ القرار مرونة زائدة وبدائل زائدة، وبذلك يستطيع المدراء والفنيون والمهندسون ومدراء الإنتاج العمل في أكثر من بديل لأن النتيجة مضمونة وهي الوصول للحل المثالي بنفس النتيجة (أكثر من طريق تؤدي إلى نفس المكان وبنفس الزمن وبنفس التكلفة وبنفس التعرض للمخاطر).

والدورانية تعطي مرونة عند توفر عدة حلول مثلى هي حالة خاصة مثالية مطلوبة ولصالح متخذ القرار ولصالح العمل، ولكن هنالك حالات خاصة سلبية غير مرغوب فيها غير مطلوبة وتعكس بالعمل على إعاقة اتخاذ القرار وإعاقة عمل الإداريين وهذه عندما تكون عندنا حالات خاصة لا نستطيع الوصول إلى نتائج لحلنا وبالتالي لابد من إعادة النظر في طريقة التحليل بكاملها.

الحالة الأولى: توفر عدة حلول مثلى Alternate Optimal Solution :

تحدث هذه الحالة عندما يتطابق (وليس يتساوى) بل يتطابق خط دالة الهدف الأمثل مع أحد خطوط القيود المرتبطة على حدود منطقة الحل الممكن، وفي هذه الحالة فإنه يكون هناك أكثر من حل يزودنا بالقيمة المثلى لدالة الهدف.

والمقصود بالتطابق هو: لو رسمنا خطاً فسيكون يوازي أحد خطوط القيود (أي التطابق هو التوازي).

خط دالة الهدف: هي معادلة خطية والموضوع الذي نناقشه البرمجة الخطية ونحن عندما نتعامل مع الخطوط فالخط لا يمثل متباينة بل يمثل إشارة مساواة (حولنا إشارة المتباينة في القيد إلى إشارة مساواة مؤقتا حتى نستطيع أن نحكم هل يتوفر لنا حالة خاصة أم لا).

دالة الهدف الأمثل: (أعلى قيمة ربح وأقل قيمة كلفة).

القيد له علاقة بمنطقة الحل الممكن وليس قيد شارد أو قيد فائض أو قيد زائد أو قيد لا يؤثر علينا أو قيد يؤثر.

مثال: دالة الهدف عظم  ر  30 س1 + 20 س2

علما بأن (ع.ب):

القيود    2س1 + 1س2 ≤ 40  قيد النجارة

          1س1 + 2س2 ≤ 44  قيد الدهان

          3س1 + 2س2 ≤ 54  قيد التجميع والتجهيز

قيد اللاسلبية    س1 , س2 ≥ 0

لاحظ أن القيد الثالث يوازي دالة الهدف ( لأن النسبية بين معامل س1 وس2 في دالة الهدف لها نفس النسبة بين معامل س1 وس2 في القيد الثالث).

الشرح:

س1 = المادة المراد إنتاجها الأولى  - لنفرض مثلا أن س1 هي الطاولة.

س2 = المادة المراد إنتاجها الثانية   - لنفرض مثلا أن س2 هي الكرسي.

(30 أي ربحية إنتاج وبيع الوحدة الواحدة من المنتج س1 (الطاولة) تولد عندي 30 ريال ربح في الوحدة الواحدة)

(20 أي ربحية إنتاج وبيع الوحدة الواحدة من المنتج س2 (الكرسي) تولد عندي 20 ريال ربح في الوحدة الواحدة)

(2 س1+ 1 س2 ≤ 40 قيد النجارة): 2 س1 يعني أنني احتاج في صناعة الطاولة الواحدة ساعتين في قسم النجارة، و 1س2 أنني احتاج في صناعة الكرسي الواحد إلى ساعة واحدة، و(≤40) تعني أن الساعات المتاحة فقط في قسم النجارة كحد أقصى هي 40 ساعة.

(1س1 + 2س2 ≤ 44  قيد الدهان): أي أنني احتاج لإنتاج الطاولة الواحدة في قسم الدهان لساعة واحدة، ولإنتاج الكرسي الواحد في قسم الدهان لساعتين، والساعات المتاحة كحد أقصى هي 44 ساعة.

( 3س1 + 2س2 ≤ 54  قيد التجميع والتجهيز) أي أنني احتاج لتجميع وتجهيز الطاولة الواحدة لثلاث ساعات في قسم التجميع والتجهيز، ولساعتين لتجميع وتجهيز الكرسي، والساعات المتاحة كحد أقصى 54 ساعة.

قيد اللاسلبية    س1 , س2 ≥ 0 (أي أنني اعمل في المربع الأول من المستوى الديكارتي).

القيد الثالث يوازي دالة الهدف (لأن النسبية بين معامل س1 وس2 في دالة الهدف لها نفس النسبة بين معامل س1 وس2 في القيد الثالث) والمعامل هو الرقم المتغير (الرمز) الذي يسبق (س)، والنسبية المقصد بها نسبة س1 إلى س2 ودالة الهدف هي 30 س1 + 20 س2 فالنسبية هنا 30 إلى 20، والقيد الثالث هو 3س1 + 2س2 والنسبية 3 إلى 2، إذاً هي توازيها لأن لها نفس النسبة، وس1 و س2 من نوع متغيرات القرار، لأن القرار يتعلق بكم أنتج.

رسمنا منطقة الحل وهي ADHI  ولكن الفرق عن المثال الذي سبق أخذناه أننا غيرنا في دالة الهدف وجعلناها موازية لأحد القيود (في هذه الحالة دالة الهدف توازي القيد الثالث).

 ADHI هي منطقة الحل لجميع القيود المجتمعة (لو رسمنا دالة الهدف وافترضنا قيمة لإشارة المساواة على يسار دالة الهدف فإنها سوف توازي هذا المنحنى).

ونعمل مثلما كنا نعمل في القيود نعوض ونعمل جدول  س1 و س2 ونضع إحداثيات نقطتين :

النقطة A (س=0 وص= 0) وبالتطبيق بدالة الهدف النتيجة = صفر إذا نقطة الأصل هي صفر.

النقطةD = (0 , 22) على محور الصادات ونعوض إحداثيات النقطة في دالة الهدف = 440.

النقطةH  = (5, 19.5) ونعوض في الدالة = 540 (وهي واقعة في نقطة تقاطع القيدين مع بعض).

النقطةI  = (18 , 0) ونعوض في الدالة = 540 (نفس النقطة السابقة وهي أعلى ربح).

ففي حالة توفر عدة حلول مثلى فإنه يتوفر لدينا عدد لانهائي من الحلول لأن كل نقطة على الخط H  ,I  لو نعوض إحداثياتها في دالة الهدف ستعطينا نفس دالة النتيجة، وفي هذه الحالة الخاصة الإيجابية تعطي مرونة لمتخذ القرار  وبالتالي تمكنه من قيادة السوق وتحقق له الميزة التنافسية المستدامة.

تعريف الميزة التنافسية: شيء تمتلكه يمتاز بالندرة ويميزك وصعب على المنافسين إن يكتشفوه أو يقلدوه.

الحالة الثانية: عدم توفر حلول:

يعني عندما نصوغ مشكلة البرمجة الخطية هناك عدد لا متناهي من المتغيرات التي تؤثر علينا، وتحدث هذه الحالة عندما لا يكون هناك حل لمشكلة البرمجة الخطية يحقق جميع القيود بما فيها قيد اللاسلبية (لا يوجد منطقة حل ممكنة لجميع القيود بنفس الوقت).

لنفترض جدلاً نفس المسالة ونفس دالة الهدف والقيود، ولكن حدث تغير مفاجئ مثلاً في س1 وس2 فجاءنا قيد من الحكومة أو من وزارة الاقتصاد أو من أي جهة وفرضت علينا قيود جديدة (باللون الأزرق) فهذه القيود سندخلها ضمن معادلتنا في تلك الفترة وبالتالي عدم توفر حلول (لا يوجد نقاط أو زوايا تحقق جميع القيود بنفس الوقت).

مثال:  دالة الهدف  20 س1+ 10س2

علما أنه (نفس القيود الأولى):

س1+ 1س 2  ≤ 40     قيد التجارة

1س1+ 2س2 ≤  44    قيد الدهان

3س1+2س2  ≤  54    قيد التجميع والتجهيز

ولكن حدثت تطورات في البيئة الخارجية والداخلية، وبسبب ما فرض علينا قيدين (إما يفرض علينا من الغير أو نحن نفرض على أنفسنا من أجل التكيف مع المتغيرات التي تحدث في البيئة) وهما:

1س1 ≥  50 (يجب أن يكون إنتاجك من الطاولات لا يقل عن 50  طاولة  في الأسبوع أو اليوم ....).

1س2 ≥ 20 (إنتاجك من الكراسي  لا يقل عن 20 كرسي).

فبناء على الوضع الجديد والقيدين باللون الأزرق مجبر أن أتعامل مع 6 قيود (3 أخضر، و2 أزرق، وقيد اللاسلبية).

فيجب في الوضع الطبيعي أن يكون هناك منطقة مشتركة تلبي جميع القيود ومنطقة حل ممكنة واحدة تلبي  جميع القيود، وإذا لم استطع الوصول إلى تلك المنطقة معناه لا يوجد حل لهذه المشكلة، وبالتالي يجب أن تبحث في الأسباب وتعيد النظر كمخطط وكمحلل بمدخلات وصياغة مشكلة البرمجة الخطية  ابتداء من البداية وتبدأ بداية جديدة لأنه قد يكون هناك قيد أغفلته في المسألة أو نسيته أو ليس ظاهراً ....

فالقيود الخضراء  موجودة ADHI   وهذه منطقة الحل الممكنة الأولى.

ولكن ونرسم القيدين الزرق: 1س1 ≥  50 ، 1س2 ≥ 20 ، وقد يكون هناك منطقة مشتركة بين القيدين الأزرقين رمزنا لها KMNO  ، فتكون منطقة الحل في هذا القيد منفردة على اليمين والخط ابتداء ليس من ضمن منطقة الحل القديمة في المنطقة الخضراء ADHI  ، فلا يوجد هنالك شيء مشترك من حيث منطقة الحلين.

الحالة الثالثة: Unboundedness (عدم توفر حدود):

يكون الحل غير محدد (غير منتهي) بدون الاعتداء (مخالفة) أي قيد من القيود ويسمى أحياناَ خيالاَ إدارياَ في مشكلة تعظيم الأرباح، فصحيح أن المدير يستطيع  تحقيق أرباح غير محدودة نظرياَ لكن عملياَ لا يستطيع وبالتالي إن حدثت هذه المشكلة فصياغتها تكون خطأ فربما تم نسيان وتجاهل بعض القيود في صياغة المشكلة.

 

مثال: عظم ر= 20 س1 + 10س2

ع . ب

س1 ≥ 2

س2 ≤ 5

س1، س2 ≥ 0

نحول إلى إشارة مساواة س1 = 2 ونرسمه على محور س وعند الرقم 2 نقيم عامود يمتد فوق إلى مالا نهاية، وبما أن الإشارة (أكبر أو يساوي 2) فمنطقة الحل لهذه المتباينة تكون على يمين القيد (الخط).

وس2 = 5 فنرسم س2 على محور الصادات، وبما إن الإشارة الأصل (أصغر من أو يساوي) فمنطقة الحل تكون تحت باتجاه نقطة الأصل فيجب إن تتقاطع مع س1 ≥ 2

محور السينات عليه (س2 كراسي) درجناه (2- 5- 10- 15 ...)

(ملاحظة: على محور الصادات هناك خطأ مطبعي فبدل (3) نكتب (5).

فالمنطقة ABCD والمفتوحة من جهة CBهذه المنطقة المشتركة التي تحقق شروط القيدين معاَ.

ولكن لو أتينا على نقاط الزوايا وعوضنا هذه النقاط نقطة 2 (2، صفر) بنقطة ب (2 ، 3) ونحسب الربح الابتدائي فكلما زادت (س1) فـ(س2) ثابتة، ولكن س1 هناك مجال لزيادة إنتاجنا من الطاولات إلى ما لا نهاية، ولا نستطيع زيادة إنتاجنا من الكراسي عن خمسة كراسي.

ففي هذه الحالة حتى أعمم أرباحي لا يمكن من خلال الزيادة والتوسع في إنتاج الطاولات مع عدم إنتاج أي كرسي جديد (هذا قيد) هذا من ناحية نظرية، ومن ناحية عملية هل يعقل أن جميع البشر سوف يأخذوا طاولات بدون كراسي إذن غير منطقي، فلا بد من إعادة النظر بالقيود والمتغيرات التي صغنا فيها المشكلة (خيال إداري)، ولاحظ الربح من جهة CD  مفتوح إلى مالا نهاية فكلما توسعت وزدت قيمة C1 راح يزداد الربح ويتضاعف وبالتالي لم نصل إلى نقطة مثالية عند كل نقطة في حل وفي مقدار ربح وممكن الربح يتضاعف .

الحالة الرابعة: الدورانية:

عندما يأتي الحل على أحد المحاور وهذا معناه دورانية أي أننا ندور جميع الموارد وجميع المصادر ونوجهها إلى إنتاج منتج واحد وليس إلى إنتاج منتجين لأن مصلحتنا تقتضي تحقيق أعلى ربح ممكن وذلك يكون عند إنتاجنا أحد المكونات، فلو رجعت إلى مثال مشكلة التعظيم ستجد أن نقطة الحل هي (I) (على محور س1)

النقطة (I) هي الحالة الخاصة الرابعة (الدورانية) مسألة تعظيم حققت أعلى ربح عند النقطة (I) وتعني أن إنتاجك سيكون 18 طاولة وصفر من الكراسي أي أن جميع الموارد والإمكانيات وجهت لإنتاج الطاولات وليس الكراسي.

ولو أتينا على الرسم ولنفترض جدلاً أن  D2كانت هي التي حققت أعلى ربح بما إن D2 واقعة على محور C2 أيضاً  فتسمى دورانية.

ويمكن أن تقع أكثر من حالة دورانية بنفس الوقت إذا توفرت عدة حلول مثلى.

فالنقطةI  أعطتنا أعلى ربح ممكن والنقطة H أعطتنا نفس القيمة، فلو أتى سؤال (إن قيمة دالة الهدفD  عندH  تعطي540 ، وقيمة دالة الهدفD  عند I تعطي 540، فهذه الحالة هي: (أ: دورانية، ب: عده حلول مثلى، ج: أ + ب).

ثانياً: طريقة السمبلكس:

الطريقة البيانيّة أو الطريقة بالرسم تستخدم فقط عندما يكون عندنا متغيرين بحيث نرى أحدهما على محور س(X) والآخر على محور ص (y)، ولكن المشاكل العمليّة حقيقةً يكون هنالك أكثر من متغيرين ... وبالتالي لا تسعفنا طريقة الرسم البياني في حل المسائل الأكثر تعقيداً وبالتالي نلجأ هنا إلى الطريقة البيانيّة أو الطريقة المبسطة (السمبلكس)، ونظام السمبلكس يعتمد نظام الصفّ البسيط والمصفوفات وما يسمى بعامود الوحدة ...

مثال عادي (مشكلة عادية مثلما كنّا نحلها بطريقة الرسم):

عظم ر 20س1 + 10س2

(ع.ب):

2س1 + 1س2 ≤ 40

1س1 + 2س 2 ≤ 44

س1 ، س2 ≥0   نحول المشكلة إلى الشكل المثالي

عظم ر 20س1+10س2 + 0ح1 + 0ح2

(ع.ب):

2س1 + 1س2 + 1ح1 = 40

1س1 + 2س2 + 1ح2 = 44

س1 ، س2 ، ح1 ، ح2 ≥ 0   

في طريقة الرسم نحوّل المتباينة إلى إشارة مساواة مؤقتاً من أجل المساعدة في رسم الخط الذي يمثل المعادلة وبالتالي بعد ذلك نرجع إلى إشارة المتباينة لنبيّن منطقة الحل وهذا ينطبق في نظام السمبلكس فيجب تحويل الاقتران أو المتباينة إلى معادلة إلى إشارة يساوي (=)، وفي طريقة الرسم كنّا نحن نختبر الزوايا التي تحيط بمنطقة الحل الممكن، ونقطة الحل الأمثل يجب أن تكون على إحدى هذه الزوايا وهذا ينطبق أيضاً في السمبلكس، وكذلك في حالة مشكلة التعظيم يهمني أن تكون المنطقة أكبر ما يمكن وبالتالي نقطة الحل الأمثل تكون الأبعد عن نقطة الأصل، والعكس في التخفيض وهذا أيضاً ينطبق في السمبلكس.

لكن ما يميز السمبلكس أنّك تلجأ إلى نظام الصفّ البسيط وتشكيل الجداول بعد تحويل المشكلة.

الوصايا الأربع أو القواعد الأربع:

القاعدة الأولى: (تحويل المشكلة من الشكل العادي إلى الشكل المثالي أو المعياري: في مسألة التعظيم أو غير التعظيم عندما تكون إشارة القيد أقل أو يساوي فإننا نضيف إلى الطرف الأقل أو الأيمن من القيد متغير حر يحمل رقم القيد المعني ويكون معامله في القيد المعني واحد).

أي أننا نحوّل المتباينات إلى معادلات خطيّة من الدرجة الأولى، ويجب أن يكون الرقم على الجانب الأيسر من المعادلة رقم موجب، وإذا كان رقماً سالباً فيجب ضرب جميع المعادلة بـ(-1) من أجل تحويل الناقص في الأرقام الكمية الموجودة على يسار القيود إلى أرقام موجبة.

ومعظم مشاكل التعظيم تكون معظم إشارات قيود المتباينات في مسألة التعظيم أقل أو يساوي باستثناء قيد اللاسلبية.

وفي السمبلكس الطريقة المبسطة يجب أن يبدأ الحل من نقطة الأصل حيث س1=0 وس2=0، سواء كانت المشكلة تكاليف تعظيم أو تخفيض، ويجب أن نعمل على تكوين جدول حل أوّلي عند نقطة الأصل.

وهذا غير منطقي لأن 2س1 + 1س2 = 40 عند نقطة الأصل 2×0=0+1×0=0 فالمحصّلة من الجانب الأيمن من المعادلة أو المتباينة صفر أقل أو تساوي 40 فهل يعقل أنّ الصفر=40، فنقول: الرياضيات منطق، فنلجأ لعملية التحايل الرياضي بالمنطق، فنقطة الأصل هنا 2س1+ 1س2 = صفر ، والصفر لا يمكن أن يساوي 40، فالطرف الأقل في المتباينة الطرف الأيمن، فلو أضفنا متغيّر وهمي وليس حقيقي، ورمزنا له بالرمز ح1 لأننا نتعامل مع القيد الأول فنشير إلى رقم القيد ونحوّل المشكلة إلى الشكل المثالي: (ع.ب) القيد الأول:  2س1+1س2 +1ح1 =40 .

فيجب دائماً وأبداً في حالة المتباينة أو القيد الذي يحمل إشارة أقل أو يساوي ونريد أن نحوّله إلى الشكل المثالي أو المعياري (يجب أن تضيف إلى الطرف الأقل متغيّر وهمي يحمل رقم القيد المعني فنقول ح1، ومعامله في القيد المعني واحد (المعامل هو الرقم الذي يسبق الحاء وهو واحد سواء كان يشير للقيد الأول ح1 أو القيد العاشر ح10 ...).

والآن نرجع عند نقطة الأصل (2×0 =0 + 1 ×0=0) فالصفر لا يمكن أن يساوي 40، لكن صفر +1 ح1 = 40 منطقي جداً فنقول ح1 = 40 .. وح1 هو متغير وهمي لا يؤثر على الحل ..

القاعدة الثانية: (أي إجراء نعمله على أي قيد بإضافة أي متغير أو طرح أي متغير يجب أن ينعكس ذلك على دالة الهدف): فيجب أن يعمل في دالة الهدف بحيث نضمن أنّنا تحايلاً رياضياً بطريقة صحيحة وذكية وأننا سوف لن نؤثر على الحل الأصلي، ومادام أنه متغير وهمي ولم يؤثر على طبيعة الحل إذاً يجب أن يكون معامله في دالة الهدف (صفر) أي معامل المتغير الوهمي أو الحر  slack variable في دالة الهدف صفر، لأننا عندما نضرب الصفر بأي رقم فإن النتيجة صفر، والصفر سوف لن يؤثر على الحل.

مثلاً القيد الثاني: 1س1 + 2س2 عند نقطة الأصل = 44

فمعامل المتغير الحر في القيد المعني واحد (1ح2) وأصبح الآن منطقي (0+1ح2=44) إذاً ح2 =44

ومادام أضفنا ح2 يجب أن نضيف ح2 إلى دالة الهدف +0 ح2 في دالة الهدف.

عظم ر 20س1+10س2+0ح1+0ح2

ونفس الشيء س1، س2 ≥ 0 هما أصليات موجودات فأضفنا إليها متغيرين حرّين لأن عندي قيدين والقيدين إشارتهم أقل أو يساوي، وحسب القاعدة إشارة أقل أو يساوي يجب أن نضيف متغيّر حر يرمز له بالرمز ح ويحمل رقم القيد ومعامله 1 في المعادلة أو في الاقتران أو في القيد، وصفر في دالة الهدف، وأيضاً يجب أن ينعكس ذلك في قيد اللاسلبية، وبمعنى آخر قيد اللاسلبية يجب أن يتضمن جميع القيود أو جميع المتغيرات التي بالمشكلة س1،س2،ح1،ح2.

إذاً هذا الشكل المثالي أو المعياري لمشكلتنا ..

مشكلتنا الأصلية هي

عظم ر 20س1+10س2

(ع.ب)2س1 + 1س2≤ 40

1س1 + 2س2 ≤ 44

وس1،س2 ≥ 0

فنحول الشكل إلى الشكل المثالي أو المعياري:

عظم ر 20س1 + 10س2

(ع.ب):

2س1 + 1س2 + 1ح1=40

ومباشرة نضيف في بداية الهدف عظم ر 20س1 + 10س2 0ح1 ، ونضع ح1 في قيد اللاسلبية.

ونرجع للقيد الثاني فأضفنا ح1 ح2 وننتقل لدالة الهدف: 1س1 +2س2 + 1ح2 = 44

ثم جميع المتغيرات الحقيقية والوهمية يجب أن تكون في قيد اللاسلبية س1،س2، ح1،ح2≥ 0

 ملاحظات:

1/ في الشكل المثالي نضيف لدالة الهدف جميع المتغيرات الحرة ويكون معاملها في دالة الهدف صفر، لأنها متغيرات وهميّة ، ولأن صفر × أي رقم = صفر فلا يؤثر على حل معادلتنا.

2/ نضيف إلى كل قيد يحمل إشارة ≤ في الشكل الأصلي متغير حر (ح) يكون معامله في القيد المعني (1) ويحمل رقم القيد مثلاً ح1 مقصود به المتغير الحر للقيد الأول وهكذا .. وذلك لتحويل المتباينة إلى إشارة مساواة.

3/ نضيف جميع المتغيرات الحرة ح1،ح2........الخ إلى قيود اللاسلبية ويجب أن تكون أكبر أو تساوي صفراً..

4- عملية إضافة قيود حُرة إلى جانب الأقل في المتباينة وذلك لتحويلها إلى إشارة مساواة، وهذه العملية هي عملية لمعادل رياضي، لأن الحل يكون عند نقطة الأصل حيث إحداثياتها س1=0  س2=0 .

5- دائماً نبدأ بتشكيل الحل الأولي من خلال الجدول الأولي عند نقطة الأصل حيث س1 = صفر س2 = صفر (وبعد ذلك حسب نتيجة الجدول الأول إما نذهب يميناً أو يساراً).

جدول الحل الأولي عند نقطة الأصل  س1=0   س2=0

نبدأ نشكل (جدول الحل الأولي عند نقطة الأصل س1=0  س2=0)، ودائماً عندنا مزيج الحل في العمود الأول من الجدول، ومزيج الحل في العمود الأول نضع فيه المتغيرات الوهمية (عند نقطة الأصل دائماً المتغيرات الوهمية الحُرة فالأولية لها، وليس للمتغيرات الحقيقية لأنني لم أنتج حتى هذه اللحظة ولم أبع شيئاً).

جدول (1) الحل الأولي عند نقطة الأصل س1=0 ، س2 =0

مزيج الحل			س1		س2		ح1		ح2		الكمية
		ر ح	20		10		0		0
ح1		0	2		1		1		0		40
ح2		0	1		2		0		1		44
	ز ح			0		0		0		0	الربح 0
	ر ح – ز ح			20		10		0		0

                                         عمود الارتكاز

في السطر الأول (س1  س2   ح1     ح2) هذه المتغيرات الحقيقية والغير حقيقية في المعادلة في دالة الهدف السابقة:

ومعامل كل متغير نضعه تحته في الجدول فمعامل 20س1  معامل 10س2  معامل 0ح1 معامل 0ح2.

ومعنى 20س1 هي مقدار الربح من بيع كل طاولة، و10 من كل كرسي، وصفر من كل ح1، وصفر من كل ح2.

و المتغيرات الحقيقية باللون الأخضر ومعاملاتهم باللون الأخضر تحتهم، ح1 و  ح2 متغيرات وهمية ولوناهم بالأزرق، و وضعنا معاملاتهم تحتهم صفر ، صفر، فهذه أول خطوة نعملها.

على يسار معادلة الاقتران أو دالة الهدف (الكمية) وهي الأرقام الموجبة على يسار القيود.

(ر ح) في السطر الثاني 20 ، 10 ، 0 ، 0  وهذه تُمثل معادلات دالة الهدف، لكن نسميها (ر ح) وهي إجمالي الربح المتحقق من دخول كل وحدة واحدة من س1 20، وس2 10، وح1 صفر، وح2 صفر.

وحسب قيود الشكل المعياري ح1=40  و ح2=44

والمنطقة المحصورة بين ح1 و ح2 وهي القيدين، فكل الأرقام الموجودة في السطر الثالث مقابل ح1 (2 ، 1 ، 1 ، صفر ، 40) هي معاملات المتغيرات في القيد الأول، وأضفنا ح2 واعتبرناها صفر حتى لا نترك خانة فاضيه، فالقيد الأول كان الشكل المثالي أو المعياري: (2س1 + 1س2 + 1ح1) .

وفي السطر الرابع ح2 (1س1 + 2س2 + 0ح1 + 1ح2) وضعنا 0ح1 لأن ح1 ليس له علاقة بالقيد الثاني، ووضعنا 1ح2 لأن المتغير الحُر يجب أن يكون معامله في القيد المعني ح2 هو (1) وفي دالة الهدف (صفر).

(ز ح) تُمثل الأشياء التي يُمكن أن أخسرها أو يجب عليّ أن أدفعها وبالتالي هي تُقلل هامش الربح من أجل أن أتم صناعة الشيء فهي تكاليف، فلو أردت أن أدخل س1 إلى مزيج الحل سأخسر بمقدار الرقم الذي يُمثل (ز ح) تحت س1، ولو أردت أن أُدخِل س2 سأخسر الرقم الذي في صف (ز ح)، والأرقام التي نقابلها في الجدول أعلاه (صفر، صفر، صفر، صفر) لأنني عند نقطة الأصل حيث س1= صفر و س2= صفر وبالتالي أنا لم أبدأ الإنتاج أصلاً، فالتكاليف (صفر)، والربح (صفر).

ومنطقياً نعرف أن عند نقطة الأصل الربح (صفر) لكن حسابياً كيف نحسب الربح؟ فالمتغيرات الأساسية التي تدخل الخط المتغيرات الحقيقية س1 و س2 لم تدخل إلى مزيج الحل، إذا (جميع المتغيرات التي لم تدخل إلى مزيج الحل تُسمى متغيرات غير أساسية).

قاعدة: المتغيرات بغض النظر هل هي حُرة، حقيقية، وهمية، هي (المتغيرات التي تدخل إلى مزيج الحل نسميها متغيرات أساسية) (والمتغيرات التي لم تدخل مزيج الحل في ذلك الجدول تسمى متغيرات غير أساسية).

(ز ح) كل الصف أصفار فقط عند جدول الحل الأولي، وعند أي نقطة أخرى لا يكون كله أصفار، فقد يكون رقم سالب أو موجب، ولا يُمكن أن تأتي هذه الحالة إلا عند نقطة الأصل.

(ر ح - ز ح) السطر الأخير: هو صافي الربح (إجمالي الربح – المصروفات أو التكاليف = صافي الربح)، فنأخذ الأرقام الموجودة في ر ح ونطرح منها الأرقام الموجودة في صف ز ح، كما في الجدول أعلاه، وأسميناه صافي الربح وله تسمية أخرى (صف صافي التقييم) أي أننا نقيم نتيجة الحل ونحدد اتجاهنا ولا نحسب الربح فقط عند النقطة.

ونأتي على (ر ح - ز ح) فالهدف الرئيسي هو تعظيم الأرباح، إذاً أنا عند نقطة الأصل (صفر) أريد أن أنطلق وأمامي خيارين إما أذهب إلى س1 أو س2 (أفقي أو عمودي) فالذي يُجيبني هو صف صافي التقييم، فمادام المسألة تعظيم إذا يجب أن أختار الرقم الأكثر موجب وهو الرقم (20) في أخر صف، إذاً سوف أتحرك باتجاه س1، وس1 سيدخل إلى مزيج الحل ويتحول من متغير غير أساسي إلى متغير أساسي ونسمي هذا العمود عامود الارتكاز (يعني أننا سوف ننطلق من هذا العامود ومن هذا المتغير وسيكون اتجاه الحل باتجاه س1 أفقياً).

إذاً س1 يُريد الدخول إلى مزيج الحل، ومزيج الحل عنده موقعين ح1 و ح2 وإذا أردنا أن نُدخل س1 لا بد أن نُخرج إما ح1 أو ح2 وهي متغيرات وهمية، وتكون آلية الاختيار عادلة كالتالي:

نضيف عامود جديد نسميه عامود النسبة على اليسار: ونقسم الأرقام التي تحت عامود الكمية على المعاملات الموجودة في عامود الارتكاز بشرط  ألا تكون هذه المعاملات صفر أو تحمل إشارة السالب، وهنا لا يوجد سوا معاملين (1 و2) وكلهم يتحقق الشرط فيهم قيم موجبة (40 ÷ 2= 20 وهي النسبة في ح1) (44÷1= 44 وهي النسبة في ح2).

والقاعدة تقول: لا بد أن تختار النسبة الأقل  وتسميها صف الارتكاز. (انظر الجدول في الصفحة التالية):

جدول الحل الأولي عند نقطة الأصل س1=0 ، س2 =0

                           الرقم المحوري

مزيج الحل		س1	س2	ح1	ح2	الكمية	النسبة	صف الارتكاز
	ر ح	20	10	0	0
ح1	0	2	1	1	0	40	20
ح2	0	1	2	0	1	44	44
ز ح		0	0	0	0	الربح 0
ر ح – ز ح		20	10	0	0

                                         عمود الارتكاز

والرقم المحوري: وهو نتيجة تقاطع صف الارتكاز مع عامود الارتكاز، ومهما كانت قيمه هذا الرقم 2 أو 3 أو مليون فلا بد من تحويله إلى 1 بقسمته على نفسه ( 2÷2=1)، ونحن نعمل على معادلة فلا بد من قسمة جميع الصف ابتداء من 2 إلى 40 يعني (2÷2=1) (1÷2=0.5)و(1÷2=0.5) و (0÷2=0)و(40÷2=20) والناتج يوضع بالجدول رقم (2) وهذه الأرقام هي الموجودة في س1 بجدول رقم (2) ويسمى هذا الصف (صف الضيف) لأنه أول صف يأتي ضيف على الجدول رقم (2) وإذاً سيكون هناك تغير للصفوف المتبقية.

ملاحظات :

·        رح: يمثل معاملات المتغيرات في دالة الهدف، والتي ترمز إلى المساهمة في الربح الإجمالي نتيجة إدخال وحدة واحدة من المتغيرات إلى مزيج الحل كمتغيرات أساسية.

·        زح: تمثل النقص في قيمة دالة الهدف نتيجة إدخال وحدة واحدة من المتغيرات غير الأساسية التي تقابل هذه القيم إلى مجموعة المتغيرات الأساسية (إلى مزيج الحل الحالي)، أي إذا جعلنا المتغير غير الأساسي متغيراً أساسياً بقيمة واحد (1) (تكاليف ومصروفات) ويحسب بضرب معاملات عمود رح في الأرقام الموجودة تحت كل عامود للمتغيرات.

·        رح – زح: الصف الأخير يمثل صافي التقييم أو صافي التغير في قيمة دالة الهدف نتيجة إدخال وحدة واحدة من المتغيرات غير الأساسية إلى مجموعة المتغيرات الأساسية، أي إذا جعلنا المتغير غير الأساسي متغيراً أساسياً بقيمة واحد(1) (صافي الربح).

في الجدول السابق عند نقطة الأصل كانت نتيجة الربح صفر وبالنظر لصف صافي التقييم نلاحظ أن جميع الأرقام صفر أو موجبة ومعنى ذلك أن هناك إمكانية لتحسين الحل (في حال التعظيم) وذلك بإدخال المتغير غير الأساسي الأكثر موجبيه وهو س1 والذي يقابل الرقم 20 وبالتالي فالرقم الأكثر موجبيه يسمى عامود الارتكاز والذي يشير للمتغير الذي سوف يدخل لمزيج الحل في الجدول اللاحق وهو س1 ويشير أيضاً لاتجاه الحركة وهو باتجاه س1 أي المحور الأفقي.

قاعدة: التوقف والوصول للحل الأمثل في مشكلة التعظيم هي عندما تكون الأرقام في الصف الأخير صف صافي التقييم صفر أو سالبة، وفي حالة مشكلة التخفيض تكون الأرقام موجبة أو صفر.

والآن المتغير س1 سوف يدخل لمزيج الحل ويصبح متغير أساسي ويحل محل ح1 أو ح2 حسب عامود النسبة ويحسب من خلال قسمة عمود الكميات على الأرقام والمعاملات الموجبة في عمود الارتكاز ونختار النسبة الأقل كصف ارتكاز والتي تشير للمتغير للخارج من مزيج الحل وهو ح1.

جدول رقم (2) :                                       جدول الحل الأولي الثاني

- عند تحديد عمود الارتكاز نختار الرقم الأكثر موجبيه وإذا تساوى رقميين موجبين نأخذ الرقم الأول من اليمين وكذلك إذا تساوت نسبتان نأخذ العليا أي الأولى من فوق.

مزيج الحل		س1	س2	ح1	ح2	الكمية
	ر ح	20	10	0	0
س1	20	1	0.5	0.5	0	20
ح2	0	0	1.5	- 0.5	1	24
ز ح		20	10	10	0	400
رح – زح		0	0	-  10	0

الآن نحسب س1: يهمنا دائماً الرقم المحوري الذي حولناه إلى واحد فيجب أن تكون جميع الخانات التي تحته تكون أصفار وكل عامود لابد أن يكون فيه رقم 1 واحد فقط والباقي أصفار ونسمي هذا العامود (عامود وحدة) لأنه لا يوجد سوا رقم 1 صحيح فقط ولو نلاحظ أن س1 صفر مع انه لم يكن صفر بل رقم 1 ولو رجعنا للجدول رقم (1) لاحظنا الفرق والمطلوب منا تغير الرقم 1 وتحويله إلى صفر.

ملاحظات على جدول الحل الأولي والثاني :

قاعدة عامة: يجب أن يكون الرقم المحوري واحد صحيح وذلك بقسمته على نفسه وحسب طريقة الصف البسيط يجب أن نقسم جميع أرقام الصف على الرقم المحوري ونضع النتائج في جدول جديد مناظر للمتغير الذي به الرقم المحوري.

أما فيما يتعلق بكيفية حساب عناصر ح2 في الجدول الثاني فتتم حسب القانون التالي: وقبل نأخذ القانون نأخذ بالاعتبار التالي : (ع: عناصر.    ص: صف.     ج: جدول).

(ع.ص.ح2=ع.ص القديم في ج الأول المناظر ناقص حاصل ضرب الرقم فوق أو تحت الرقم المحوري في ع.ص جديد في الجدول الثاني الناتج عن تغيير الرقم المحوري إلى واحد صحيح.

الشرح: عناصر صف الجدول ح2= (عناصر الصف في الجدول الأول المناظر) – (ر.ف.ت.ر.م الرقم فوق أو تحت الرقم المحوري × ع.ص الجديد ج2عناصر الصف الجديد في الجدول 2 الناتج عن تغيير الرقم المحوري لرقم واحد).

 ع.ص القديم – (رقم فوق أو تحت ر.المحوري×ع.ص جديد في جدول 2)

وعناصر الصف القديم هي عناصر ح 2 كالتالي: (1، 2، 0، 1، 44)، و

الرقم فوق أو تحت الرقم المحوري هنا هو (1) رقم ثابت لا يتغير × عناصر في الجدول الثاني الجديد:

العنصر الأول 1: أول خانة بالجدول تكون صفر، لأجل أن يصبح عمود وحدة إذاً: 1- (1×1) =0

العنصر الثاني بالجدول القديم 2 : إذاً 2 – (1 الرقم فوق أو تحت الرقم المحوري × 0,5) = 1.5

العنصر الثالث بالجدول القديم 0 : إذاً 0 – (1 الرقم الذي فوق أو تحت الرقم المحوري × 0,5 ) = - 0،5

العنصر الرابع بالجدول القديم 1 : إذاً 1 – (1 الرقم الذي فوق أو تحت الرقم المحوري × 0 ) = 1

العنصر الخامس بالجدول القديم 44 : إذاً 44 – (1 الرقم الذي فوق أو تحت الرقم المحوري × 20) = 24

إذا الأرقام التي باللون الأزرق (0، 1,5، -0,5، 1، 24) هي عناصر الصف ح2 ، كما هو موضح بالجدول أعلاه.

الآن استخراج (زح): وذلك بضرب المعاملات الموجودة في عامود (رح) وهي (الصفر و20) × الأرقام الموجود في كل عمود تحت المتغيرات (س1 س2 ح1 ح2) كالتالي:

س1 = 20 × 1 = 20 + 0×1= 20

س2 =20×0.5= 10+0×0,5=10

ح1 =20 × 0.5 =10 +0×0,5=10

ح2 = 20×0=0 + 0 ×0 = صفر

ثم نحسب (رح – زح):

20 – 20 = صفر

10 – 10 = صفر

0 – 10 = - 10

0 – 0= صفر

نلاحظ أن الأرقام في صف صافي التقييم جميعها صفر أو سالبة وبالتالي فمعيار التوقف ينطبق هنا ويعنى أن الحل مثالي وبالتالي فالربح هنا 400 ومعنى ذالك يجب أنتاج 20 طاولة فقط وبدون أنتاج أي كرسي وبما أن الحل يقع على محور س1 فقط.. أذا هذه حالة خاصة وهي الدورانية.

ونستطيع أن نحسب الربح بدون مانطلع معاملات س1 وهو 400 ، فكل طاولة واحدة تساهم في زيادة الربح بمقدار 20؛ وعدد الطاولات في القيد الثاني 20 إذن ح1 .. 0×20 = 0 + س1 > 0+20 ×20= 480 

إذاً عند النقطة س1 عند المحور الأفقي سوف يعطينا ربح مقداره 400، وهل نستطيع أن نحقق ربح أعلى؟

شروط المعاملات وعامود الارتكاز:

·        يجب أن تكون موجبة (لا سالبة ولا صفر) لأن أي رقم فوق الصفر قيمة غير معرفة وبالتالي لا أستطيع أن أكمل الحل ولا أطور الحل ولا أستطيع أن اصل إلى نتيجة، وأما الرقم السالب فإنه يتعارض مع قيودنا السلبية.

·        الرقم المحوري عبارة عن أساس نرتكز عليه في الصعود للأعلى أو في الوصول للحل المثالي.

·        يجب أن يكون الرقم تحت (1) دائماً صفر حتى تنطبق شروط عامود الوحدة، فإذا كان عندي قيدين وكان الرقم الأول 1 فالثاني سيكون صفر والعكس صحيح، وأما إذا كان 3 قيود فسيكون عامود الوحدة إما (001 ) أو (010 ) أو (100) ثلاث خيارات وعند الرسم سوف يكون الواحد على شكل قطري.

ملاحظات عامة

·        إذا كانت إشارة القيد أقل أو يساوي فإن منطقة الحل الممكنة لهذا القيد هي المنطقة الأقرب إلى نقطة الأصل والتي تقع تحت الخط الممثل لهذا القيد.

·        إذا كانت إشارة القيد أكبر أو يساوي فإن منطقة الحل الممكنة لهذا القيد هي منطقة الخط الممثل لهذا القيد وما فوقه وهي المنطقة الأبعد عن نقطة الأصل.

·        إذا كانت إشارة القيد يساوي فإن منطقة الحل الممكنة لهذا القيد هي منطقة الخط الممثل لهذا القيد فقط.

·        الطريقة المبسطة هي طريقة حل البرامج الخطية باستخدام الطرق المصفوفة المختلفة، تستخدم وبشكل إلزامي عندما يكون البرنامـج الخطي فيها مكوناً من أكثر من متضررين.

·        عند تحويل المشكلة إلى الشكل المثالي (الأساسي) إذا كانت إشارة القيد أقل أو يساوي: يضاف متغير حر (وهمي) معاملة واحد في القيد المعني وصفر في دالة الهدف.

·        الحل الأمثل حسب طريقة السمبلكس (المبسطة) في حالة التعظيم هو: عندما تكون جميع القيم في الصف الأخير (صف صافي التقييم) أقل من أو يساوي صفر.

·        الحل الأمثل حسب طريقة السمبلكس (المبسطة) في حالة التخفيض هو: عندما تكون جميع القيم في الصف الأخير (صف صافي التقييم) أكبر من أو يساوي صفر.

·        عند تحويل المشكلة إلى الشكل المثالي، إذا كانت إشارة القيد يساوي: يضاف متغير مصطنع اسمه (أ) معامله واحد في القيد المعني وناقص (م) في دالة الهدف في حالة التعظيم، وزائد (م) في دالة الهدف في التخفيض، (م تعني مليار) يعني أكبر مبلغ ممكن (أسوأ احتمال).

·        عند تحويل المشكلة إلى الشكل المثالي، إذا كانت إشارة القيد أكبر أو يساوي: يطرح متغير فائض معاملة ناقص واحد في القيد المعني، وصفر في دالة الهدف ويضاف متغير مصطنع معاملة واحد في القيد المعنى وناقصا(م) في دالة الهدف في حالة التعظيم وزائد (م) في دالة الهدف في التخفيض.

·        إذا كانت القيم على يمين القيد سالبة نعمل الآتي: نضرب القيد أو المعاملة بإشارة سالب ونعمل على عكس (قلب) الإشارة فإذا كانت أكبر نقلبها أصغر، وإذا كانت أصغر من أو يساوي نقلبها أكبر من أو يساوي.

·        نظام المصفوفات يتعامل مع 1001 ويجب أن يكون عندي قطري لاحظ عندما كنا نضيف ح متغير حر إلى القيد الأول من أجل تحويله إلى مساواة يجب أن يكون معامله (واحد) في القيد المعني، من أجل بناء الحل على إيجاد عامود الوحدة؛ أي أن العامود يجب أن يتضمن على رقم واحد فقط والباقي يجب أن يكون أصفار، فالرقم واحد هو الرقم المحوري، وتحديد عامود الارتكاز يسبق صف الارتكاز.

ثالثاً: طريقة النقل والتخصيص:

يعتبر النقل مهم جداً لأنه يمثل من 25 إلى 30% كحد أدنى من سعر بيع المنتج لذلك اهتموا بالنقل لأنه يعتبر مهم جداً لتكاليف الجدارة الجوهرية فيجب المحافظة على سيرتها ولا تدع المنافسين يعرفونها واستغلالها بطريقة صحيحة.

فالنقل يعالج جميع مشاكل النقل وهو يمثل حالة خاصة للبرمجة الخطية.

ومشكلة النقل تمثل حالة خاصة للبرمجة الخطية، وذلك من أجل إيجاد أقل الطرق تكلفة لإشباع الطلب المحدود في عدد من المواقع، بما يتوافر من عرض محدود في عدد من المصانع ويحتوي نموذج النقل على عدد من الطرق الرياضية المستخدمة لحل مشاكل النقل وهذه الطرق هي:

1/ طريقة الزاوية الشمالية الشرقية.

2/ طريقة أقل التكاليف.

3/ طريقة فوجل التقريبية.

تستخدم الطرق الثلاثة لإيجاد الحل الأولي الممكن، وهناك طريقتان رابعة وخامسة (غير مطلوبة في المادة) تستخدمان للوصول للحل الأمثل وهو أفضل قيمة لدالة الهدف وهو الحل الممكن والذي يزودنا بأقل تكلفة، والحل الأولي الممكن لا نعلم هل هو حل مثالي أو ليس مثالي فيجب أن نختبره من خلال الطريقتين الرابعة والخامسة للوصول إلى الحل المثالي (طريقة حجر التنقل وطريقة التوزيع المعدل) وكلتا الطريقتين تعتمد مبدأ اختبار الخلايا الفارغة (وتعني لو وزعنا توزيع معين بهذه الخلايا، وتم نقل وحدة واحدة من المنتجات خلال هذه الخلية ما الذي سوف يحدث للتكاليف الكلية؟ هل ستزيد أو ستنقص؟ وسنحاول ونحاول حتى نختار الحل المثالي بحيث يعطينا أقل تكلفة ممكنة).

1/ طريقة الزاوية الشمالية الشرقية :

مجموع التكاليف= (400×12)+(100×13)+(700×4)+(100×9)+(300×12)+(400×4)=15000 دولار

لوكان أمامك خارطة لبلد فالأعلى شمال، وعلى يمينك الشرق وعلى يسارك الغرب وفي الأسفل الجنوب.

فالزاوية الشمالية الشرقية: إذا كنت تحل باللغة العربية (طريقة الزاوية الشمالية الشرقية - أي من اليمين لليسار ) وإن كنت تحل باللغة الإنجليزية لنفس نسميها (الزاوية الشرقية الغربية - تبدأ من اليسار إلى اليمين).

فنبدأ من الخلية التي أتت من الزاوية حسب الشاشة نتيجة تقاطع المصنع A والسوق 1 (تكلفة نقل التكلفة الواحدة 12 دولار والكميات التي وضعت 400 وحدة) هذه الخلية هي الزاوية الشمالية الشرقية (نقطة البدء).

وقبل أن نبدأ بالحل نستعرض مكونات المصفوفة: والأرقام باللون الأزرق نعتبرهم غير موجوة مؤقتاً وهي (400 – 100- 700 - 100- 300 – 400)، ونأتي لنستعرض مكونات مصفوفة النقل بشكل عام كالتالي:

العمود الأول: على رأس العمود الخلية هذه نقسمها إلى قسمين من السوق إلى المصنع:

من المصنع في العمود الأول: A B C تشكل مصانع، فأريد أن أنقل منتجات تامة الصنع من هذه المصانع الثلاث إلى الأسواق الأربعة أو الأجزاء السوقية الأربعة.

المصانع إنتاجها التام الصنع تعرضه للسوق (نسميه عرض) آخر عمود هو العرض وأرقامه 500 / 700 / 800 ، فالمصنع الأول A الطاقة الإنتاجية الكاملة له 500 وحدة، والمصنع B 700، المصنع C 800، والمجموع (500+700+800= 2000) (في نهاية العمود تحت العرض تشكل مجموع العرض)، ويجب أن يكون مجموع العرض يساوي مجموع الطلب حتى أستطيع حل مسألة النقل.

فيجب أن تكون المصفوفة متوازنة: أي يتساوى العرض مع الطلب، ولا أستطيع حل المسألة عندما يكون العرض لا يساوي الطلب، فإذا لم يكن العرض يساوي الطلب فيجب أن أجعل العرض يساوي الطلب ولو بطريقة التحايل الرياضي.

العمود رقم1: يمثل السوق رقم1 (مثلاً سوق الرياض بحاجة إلى  400 وحدة من A، والرقم 12 في الخلية باللون الأحمر يرمز إلى تكلفة نقل الوحدة الواحدة، والخلية التي في أسفلها رقم 6  لا يوجد فيها أي شيء، و6 تكلفة نقل الوحدة الواحدة من المصنع B السوق رقم1، والخلية تحتها مكتوب فيها 10 تعني أن تكلفة نقل الوحدة الواحدة بالمصنع C بالانجليزي إلى السوق رقم 1 هي 10 دولار.

وهكذا السوق رقم 2  بحاجة إلى 900

والسوق رقم 3 بحاجة إلى 300

والسوق رقم 4 بحاجة إلى 400

ومجموع الطلب (400 +900+300 +400= 2000 إذا العرض يساوي الطلب، إذا هي (متوازنة).

ولنفترض جدلا أن العرض أكبر من الطلب أو العكس، ففي هذه الحالة سوف نضيف صف أو عمود - أيهم أكبر العرض أم الطلب- ونضع الفرق في العمود أو الصف الوهمي ونسميه (صف أو عمود وهمي) ونضع الفرق بين العرض والطلب في العمود الوهمي من أجل أن يتساوى العرض مع الطلب، ولكن هذه الكمية التي وضعنها في إحدى خلايا الصف أو العمود الوهمي من أجل ألا تؤثر على الحل نضع تكلفة نقل الوحدة الواحدة (صفر) لأن الصفر عندما نضربه في أي رقم سوف يبقى صفر وبالتالي لن يؤثر على نتيجة الحل أو آلية الحل، وإنما هي عملية تحايل رياضي، لأن النقل هو أصلاً حالة خاصة من البرمجة الخطية وما ينطبق على البرمجة الخطية ينطبق على النقل.

وطريقة الزاوية الشمالية الشرقية: من خلال الاسم يجب أن نبدأ من الخلية والزاوية التي تقع عند كلمة الزاوية الشمالية الشرقية وهي نتيجة تقاطع A مع 1 ، فنأتي إلى السوق ونسأل كم يطلب السوق (السوق يطلب 400) فيجب أن نبقى في السوق إلى أن نشبع طلب السوق بالكامل.

ونبدأ من  المصنع A الطاقة الإنتاجية الكاملة للمصنع = 500 وأنا بحاجة إلى 400 فأستطيع أن آخذ كامل احتياجاتي من المصنع A لأن الطاقة الإنتاجية للمصنع أكبر من الطلب بغض النظر عن التكاليف (في طريقة الزاوية الشمالية الشرقية لا أنظر إلى التكاليف ولا أضعها في اعتباري وهذا من مساوئ هذه الطريقة)، لكن من حسنات هذه الطريقة أنها سهلة الفهم وسهلة التطبيق وتعطينا حل أولي ممكن وليس حل مثالي.

إذاً السوق 1 سوف يأخذ من المصنع A 400 وحدة، وبما أنني أشبعت السوق انتقل إلى السوق الآخر، ولكن يجب أن أزود السوق الآخر من نفس المصنع إذا لم أستنفذ كامل طاقته الإنتاجية.

فالسوق الثاني بحاجة إلى 900 وحدة لكن المعروض عليه من A بعد إشباع السوق رقم1 فقط 100 وحدة، فأضع شرطة وصفر بجانب ال500 وهي تفيد أن المصنع A استنفذت طاقته الإنتاجية بالكامل.

وانتقل عامودياً بزاوية مقدارها 90 درجة لاحظ 400 ثم  100 ومن 100 الرقم 2 (نزلت نزول عامودي) فالزاوية رأسها 100 مقدارها 90 درجة لأني انعطفت عامودياً إلى المصنع B حتى يتم تلبية ما تبقى من احتياجات السوق 2 ، والمشكلة أن المصنع B لا يستطيع أن يعطيني إلا 700، فيتم سحب الـ 700 فأخذت كامل الطاقة الإنتاجية للمصنع ووضعته في الخلية رقم2 ، ونأتي للمصنع B (في هذه الحالة المصنع B شطب فأضع على 700 شرطة وأضيف صفر بجانبها يعني أنني استنفذت جميع الطاقة) لكن السوق رقم 2 لا يزال لم يكتمل وبحاجة إلى 100 أخرى يبحث عنها في المصنع C  والذي طاقته الإنتاجية 800 فنأخذ منها 100 ويبقى 700، وفي هذه اللحظة السوق الثاني أشبع طلبه.

انتقل إلى السوق الذي يليه (من قواعد الزاوية الشمالية الشرقية يجب أن أسير بخط مستقيم أفقي أو عامودي وأن أنعطف بزاوية مقدارها 90 درجة) فأنتقل للسوق رقم 3 وهو بحاجة إلى 300 وحدة، فأنا أخذت من 800 (100) ففي هذه الحالة أعطيه 300 وحدة كاملة وأذهب إلى السوق الرابع وهو بحاجة إلى 400، وتبقى من C 500 وحدة أضعها إلى السوق رقم4 وبالتالي جميع الطلب قد أشبع وبالتالي أصبح صفراً وجميع العروض والطاقة الإنتاجية للمصانع استنفذت أي أصبحت صفراً.

قاعدة عامة: في طريقه النقل يجيب أن يتم إشباع الطلب بالكامل وإشباع العرض بالكامل، يعني استهلاك العرض بالكامل وإشباع الطلب بالكامل، ولو جمعنا الصفوف فالمصنع  a(400+100 =500) ومصنع b (700) ومصنع C (100 + 300 + 400 = 800) فالمجموع 2000، ولو جمعنا الأعمدة العامود الأول (400) والعامود الثاني (100 + 700 + 100= 900) والعامود الثالث (300) والعامود الرابع (400)، والمجموع 2000 أيضاً.

ثم نحسب مجموع التكاليف بناء على هذا التوزيع أو بناء على هذا الطريق:  

= (400×12)+(100×13)+(700×4)+(100×9)+(300×12)+(400×4)=15000 دولار

2/ طريقة أقل التكاليف :

نفس المصفوف ولكن آلية التعاون معها تختلف، فهنا نفس الخلايا ونفس تكاليف النقل الوحدة الواحدة ونفس العرض ونفس الطلب، وليس هناك زاوية ابدأ بها.

وهنا أنظر إلى جميع التكاليف (أي إلى جميع الخلايا) في المصفوفة في جميع الصفوف والأعمدة وأحدد الخلايا الأقل كلفة، ففي السطر الأول 12، 13، 4 ، 6 فأقل خلية 4 في السوق الثالث المتقاطع مع a .

وفي السطر الثاني 6 ، 4 ، 10 ، 11 ما في أقل من 4 ولكن هناك 4 أخرى.

وفي السطر الثالث 10 ، 9 ، 12 ، 4 أيضا فيه 4 أخرى ولا يوجد أقل.

فهنا يوجد 3 خلايا تحمل رقم 4 فيجب أن تختار الخلية التي تتسع  إلى أكبر كم ممكن، فإذا تساوت أقل التكاليف في أكثر من خلية يجب أن أختار الخلية التي تتسع لأكبر كمية من الوحدات.

فمثلاً: أنت تعمر بيت في الرياض وتريد تجيب بلوك من مصنع يبعد عن مسكنك 5 كيلو، فأنت رأيت شاحنة تجيب لك البلوك وهذه الشاحنة أجرتها واحدة ولكن فيه أكثر من موديل للشاحنات فهناك شاحنة تتسع لكمية كبيرة من البلوك أكثر من غيرها، فمادام نفس الإيجار نختار الشاحنة التي تحمل أكبر كمية.

وهنا في السطر الأول 4 نتيجة تقاطع المصنع a مع السوق الثالث، فالسوق بحاجه إلى 300 والمعروض عنده 500 إذن أستطيع أن أضع في الخلية 300 فقط وهي حاجة المصنع.

والخلية الثانية في السوق 2 مع المصنع b فالسوق بحاجة إلى 900 والمعروض 700 فيعني أن الخلية تتسع لـ 700.

وفي الصف الأخير نتيجة تقاطع السوق 4 مع المصنع c وهو بحاجه إلى 400.

إذن نختار الثاني التي تتسع لـ 700 في السوق الثاني والمصنع B، وهذه الخلية نضع عليها رقم (1) داخل دائرة صغيرة لنتذكر أن هذه هي الخطوة الأولى.

ولا داعي أن أعيد توزيع الخلايا في صف مصنع b لذلك أضع خط على 700 في عمود العرض وأضع بجانبها صفر بلون بني غامق لأن الطاقة الإنتاجية للمصنع b استنفذت بالكامل.

إذن هذه 4 الأولى انتهينا منها، وبقي عندي 4 نتيجة تقاطع المصنع a مع السوق 3، و4 أخرى في السوق 4 مع المصنع C، والتي تتسع أكثر منهما هي 4 مع C تتسع لـ 400 فنأخذ خلية السوق الرابع مع C لأني أستطيع أن أعطيها 400 وهو كامل احتياج السوق من 800 المعروضة، وهنا أشبعت السوق فأضع خط عامودي على السوق رقم 4 يعني أن الخلايا في جميع المصانع تحت السوق 4 يجب إلا أخضعها للاختبار مره أخرى، و400 أخذتها من 800 فأمسح 800 وأضع الباقي 400 بلون بنفسجي خارج نطاق العرض.

والآن اذهب إلى 4 الأخيرة في المصنع a مع السوق 3 فالسوق 3 بحاجة إلى 300 وحدة والمصنعa  طاقته الإنتاجية كاملة 500 ففي هذه الحالة  أستطيع أن 300 ويتبقى 200 فأشطب 500 وأضع بدلاً منها 200 بجانبها، وأضع 300 في الخلية التي بها رقم 4، فأنا في هذه الحالة السوق رقم 3 أشبع بالكامل فأضع خط عامودي كذلك.

فالخطوط العامودية لغاية هذه اللحظة هي السوق 3 عامودياً أشبع بالكامل، والسوق 4، ولم يبق إلا خلايا السوق1 وعنده ثلاث خلايا وهي : (12 ، 6 ، 10) والخلية رقم 6 ذهبت لأنني عندما وضعت 700 في الخلية التي تكلفتها 4 في المصنع b وضعت خط أفقي ووضعت الصفر بدلاً من 700، لذلك لم يتبق هنا إلا الخلية رقم 12 وهي تقاطع a مع السوق 1 والخلية 10 في المصنع C مع السوق 1.

وكذلك بقي عندي السوق 2 الخلية (9) تقاطع السوق 2 مع المصنع C.

وفي هذه الحالة آخذ 9 لأنها أقل كلفة، فأنا أعطيت السوق 2 (700) من 900 فينقصني 200 آخذها من 400، وفي هذه اللحظة السوق الثاني أضع عامود على أنه أشبع بالكامل.

فلم يبق إلا السوق1 وبخليتين فقط (10/12) والأولوية لـ 10 لأنها أقل كلفة، والباقي من المعروض  c 200 فقط فأضعها في الخلية 10 وفي هذه الحالة الطاقة الإنتاجية للمصنع C استنفذت بالكامل، لكن طلب السوق1 لبيته جزئياً لأنه يريد 400 وأعطيته 200، ونغطي العجز  من المصنعa  لأن المصنع a لازال عنده 200 وحده إنتاجية وأنت بحاجه إلى 200، فنأخذ 200 ونضع صفر مكانها وفي هذه الحالة أشبعنا جميع الطلب.  

ولاحظ الطلب صار كله صفر صفر صفر صفر، وجميع العرض استنفذناه صفر صفر صفر، وجميع الطلب والعرض في طريق أقل التكاليف رسمنا عليه أعمدة (نرسم العامود عندما يستنفذ ويتم إشباع الطلب بالكامل).

وما دام صار عندي أربع أصفار تحت للأربع أسواق، وثلاث أصفار على يسار الرسمة للمصانع والطاقة الإنتاجية  فالعرض يساوي الطلب، وهنا وصلت إلى الحل السليم وليس بالإمكان أفضل مما كان، وما يميز طريقة التكاليف أنها دقيقة تأخذ بعين الاعتبار مجموع التكاليف 12000 ألف دولار، وهناك كانت التكاليف 14200 دولار، فالأفضل طريقة أقل التكاليف.

ملاحظات على مشاكل النقل:

·        يجب أن تكون المصفوفة متوازنة (الطلب = العرض).

·        طريقة التكاليف تعطي النتائج أدق من طريقة الزاوية الشمالية الشرقية.

·        يجب أن يلبى جميع حاجات الأسواق والمصانع ويلبى الطلب كاملاً ويستنفذ العرض كاملاً لأنه مصفوفةمتوازنة.

·        الحل الأولي ممكن الذي نحصل عليه من خلال أي طريقة من طرق الحل الأولي الثلاث يجب أن تنطبق عليه القاعدة التالية: عدد الخانات المستخدمة (التي تم تعبئتها) = عدد الصفوف + عدد الأعمدة -1

(والرمز لها م+ن-1 = عدد الخلايا المستخدمة)، فإذا لم تتحقق هذه القاعدة في الحل الأول الممكن نتيجة الثلاث طرق وأردنا الوصول للحل الأمثل باستخدام حجر التنقل أو التوزيع المعدل (آخر طريقتين) فإن الحالة من التفسخ والانحلال سوف تحدث في مشكلة النقل.

·        في حالة زيادة العرض على الطلب فإننا نقوم بإضافة عمود وهمي يحوي على رقم يمثل الفرق بين الطلب والعرض من أجل مساواتهما، وتكون التكاليف في هذا العمود صفر، وفي نهاية الحل سيحتوي هذا العامود على الفرق بين الطلب الفعلي والعرض الفعلي، وذلك لأنه من ناحية علمية لن يتم نقل هذه الكمية وتبقى تكاليف نقلها = صفراً، لأنه لا يوجد طلب لمقابلة هذه الكمية.

·        وفي حالة زيادة الطلب على العرض فإننا نقوم بإضافة صف وهمي يحتوي على الفرق بين الطلب والعرض من أجل مساواتهما كي تكون متوازنة، والتكاليف أيضاً تساوي صفر، وفي نهاية الحل سيحتوي هذا الصف على الفرق بين الطلب والعرض الفعلي، لأنه من ناحية علمية لن يتم إشباع هذا الطلب لأنه لا يوجد كمية كافية فعلية في جانب العرض لمقابلة هذا الطلب.

مشكلة التعيين :

لها طريقتان : 1- طريقة العد الكامل، 2- الطريقة الهنقارية.

تظهر مشكلة التعيين في العديد من الحالات التي تواجه متخذ القرار، و بشكل عام فهي تمثل مشكلة التعيين الأمثل لعدد من الأهداف غير قابلة لتجزئة على عدد من المهام، مثل تعيين عدد من الوظائف لعدد من الآلات، تعيين عدد من العاملين لعدد من المشاريع، تعيين عدد من رجال البيع لعدد من المناطق البيعية وهكذا.

معنى أن الأهداف غير قابلة للتجزئة: هو أنه لا يمكن تجزئة الهدف بين العديد من المهام، أي لا يمكن تعيين أحد رجال البيع لأكثر من منطقة بيعية واحدة، أو تعيين أكثر من رجل بيع على منطقة بيعية واحدة.

مثال: إحدى الشركات لديها أربع مناطق بيعية مختلفة وتمتلك الشركة أربعة رجال بيع، وتريد الشركة تعيين رجال البيع على المناطق الأربعة بطريقة مثلى، وقامت الشركة بتقدير التكاليف المصاحبة لتعيين كل رجل من رجال البيع على منطقة بيعية كما في الجدول:

فرجال البيع ليس لديهم نفس الخبرة والمهارة واللغة، ومناطق البيع متطلباتها مختلفة، فإذا وضعنا أحد رجال البيع فالتكلفة 24 ، 14 ، 15 ، 11 هذه التكاليف.

ومثلاً معنى 21 تحت ج أي أننا إذا وضعنا رجل البيع رقم 1 في المنطقة ج فستكون التكلفة 21 دولار، بينما لو وضعنا رجل البيع رقم 2 في ج فتكون تكلفته 10 .

وبالاعتماد على التكاليف المصاحبة لعملية التعيين، فإن الإدارة تستطيع تقييم أي عملية تعيين محددة لرجال البيع على مناطق بيعية، فمثلاً لو اختارت الإدارة التعيين التالي:

فنتيجة التوزيع هذا فإن التكلفة الكلية المصاحبة لهذا التعيين ستكون 79 دينار.

حل المشكلة باستخدام العد الكامل:

إحدى طرق الوصول لحل الأمثل هي عرض جميع الحلول الممكنة (كل الحلول نكتبها)، وحساب تكلفة كل حل واختيار  الأفضل بينهما (هذه الطريقة المنطقية)، وهذه العملية تسمى طريق العد الكامل.

عدد الحلول الممكنة الموجودة لهذه المشكلة:

1/ رجل البيع (1) يمكن تعيينه لأي منطقة من المناطق الأربعة.

2/ طالما رجل البيع رقم 1 تم تعيينه، فإن رجل البيع رقم 2 يمكن تعيينه لأي منطقة من مناطق الثلاثة الباقية.

3/ ورجل البيع (3) يمكن تعيينه لأي منطقة من المنطقتين الباقيتين.

4/ رجل البيع (4) يجب تعينه للمنطقة الوحيدة المتبقية.

وبالتالي لدينا (4×3×2×1 =24 حلاً ممكناً)

ونحسب تكلفة كل واحد من 24 ونختار التوزيع الأقل كلفة.

وبشكل عام إذا كان لدينا (ن) من رجال البيع، و(ن) من المناطق البيعية فإن عدد الحلول الممكنة لهذه المشكلة يكون على النحو التالي:

ن(ن-1)  × × ×1 نضرب حتى نصل إلى الواحد مضروب النون.

وهذه السلسلة من العمليات تمثل مضروب العدد (ن)، والذي يرمز له برمز (ن) وكلما زادت قيمة (ن) كلما زادت قيمة (ن) بشكل سريع جداً.

هنا (ن) مضروب (ن1)، فلو عندي 10 مندوبين بيع ونريد توزيعهم على أربع مناطق على عشر مناطق فعندي 3628800 طريقة، ونريد نجربها ونختار الحل الأقل يدوياً فهذا مستحيل.

وبالتالي عندما يرغب المدير في تعيين عشر رجال بيع على عشر مناطق، فإن طريقة العد الكامل تصبح غير معقولة، لكن عن طريق الحاسب الآلي يمكن ذلك بكل سهولة.